Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

101

bi, ..., bq— базис пространства F, bi, .... br — базис

подпро­

странства Fi. Рассмотрим множество Ф всех линейных форм <р на F, принимающих значение нуль при любом t / e Fi. Мы виде­

ли,

что каждая

форма і р е Ф

может быть представлена в виде

 

 

 

 

ч

 

 

 

 

 

 

у -*

2 ч К

 

 

 

 

 

 

Г+І

 

 

 

где

гр— координаты элемента

у

в базисе (£;)•

Если <р произ­

вольно, т. е. если произвольны Xi

(I — г ~(-1,

q),

и <р(р) =

= 0 для у е

F,

то

 

 

 

 

 

 

 

2

T)ih — 0

 

 

 

 

 

Г+1

 

 

 

 

для

любых

Я),

а взяв Лг-и Ф 0,

А,г+г = ... = Xq — 0,

получаем

г]г-н = 0, и т. д., и значит, у е Fb

 

 

 

Тем самым доказано, что

 

 

 

 

р0е / ( £ ,)4фф(Уо) = °> каково бы ни было <pGg-'(0).

Отсюда вытекает предложение 4, поскольку для того, чтобы f(x) — уо имело по крайней мере одно решение, необходимо и

достаточно, чтобы y0^ f ( E ) .

Итак, это предложение может быть

также сформулировано следующим образом.

П р е д л о ж е н и е 4. Для

того

чтобы

y ^ f ( E ) , необходимо

и достаточно, чтобы tp(p) =

0 при

любом

<peg-1(0), где g —

транспонированное к линейному отображению f.

3) Этот параграф мы закончим изложением некоторых свойств систем скалярных линейных уравнений, при условии,

что Е имеет конечную размерность р. Пусть

ft (х) = щ

( / = 1 , 2 , . . . , q).

Пусть (а*) — базис в Е (& =

1,2, ... , р). Если х е £, то

Р

* = 2 Ina*. /б=і

Если ft — линейная форма на Е, то

ft (х) — 2

ifefi (ak).

Положим fi(ak) = ßik. Здесь

— элементы из К. Заданная

система записывается:

 

р

2 Рпг!/г = аЬ

(/ =1, 2, . .. , q)\

k=\

 

102 ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

в таком виде она называется системой q линейных уравнений с р неизвестными (скалярами). В этой записи участвуют лишь эле­

менты поля К.

в Кя, имеющее вид

Пусть f —линейное отображение Е

x-+f(x) = (fi(x), . .

fq(x)).

Ранг отображения f, т. е. размерность пространства f{E) а К4,

называется рангом

системы. Напомним, что

если г — ранг, то

г «с: р и rt£iq. f(ah)

есть элемент fi(ak), ...,

fq{ah) из Кя, т. е.

элемент (ßih, ß2ft,

ß4ft). Если записать в

развернутом виде

систему в форме прямоугольника

( ßnEi "Ь ßi2^2 + ••• + ßipip — а „

1 ßflrlll + Р<72І2 + • • • + ß?p|p = ар,

то элементы Дяа) называются вектор-столбцами. Эти р элемен­ тов из Kq порождают f(E). Можно также сформулировать: ранг системы равен размерности пространства, порожденного векторстолбцами, или, иначе: это есть максимальное число линейно независимых вектор-столбцов (ср. глава III, § 2, замечание).

Наконец, мы можем интерпретировать этот ранг и преды­

дущее предложение 4,

вводя формы fi, а значит, и сопряженное

к Е пространство Е*.

Пусть '/ — транспонированное к f, опреде­

ленному как

 

f (*) = (/iW . • • •. М*)).

Отображения f и '/ имеют одинаковый ранг г, т. е. если обозна­

чить К4 через F, то lf(F*) будет иметь размерность г.

Покажем,

что ‘ДЕ*) порождается формами ft (I — 1, 2........q),

из чего

будет следовать, что максимальное число линейно независимых форм fi равно г. Если в качестве базиса пространства Kq = F взять

е , =( 1 , 0 ........ 0)...........в ,

= (0,0, .... 0,1)

то для любого X

 

 

 

 

 

 

 

f ( x ) = t f i ( x ) B t.

 

 

 

1=1

 

 

 

Отсюда, полагая

^ = ф(ег),

где

ор е Г ,

получаем

 

Ф(/(*))=

2

 

hfi (*).

Следовательно,

согласно

равенству

'/ (ф (*)) = Ф (/(*))» опре­

деляющему 7(ф), имеем

 

 

 

 

 

 

(ф) =

2

 

hfl-

 

 

 

 

і=і

 

 

 

 

 

 

 

2.

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

 

10,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратно,

я

^tfi может рассматриваться как значение отображе-

2

ния

7

 

г=і

формы ф е F ,

определяемой

равенством

ф(ег) =

для

= Я;

(/ =

1,2,

<7),

так как

 

 

 

 

 

 

 

2 Ф (е;) ft (х) =

2

Ф (// (*) е/) =

ф ( 2

 

ft (х)

ег) == ф (f (х)),

 

і=\

 

 

 

і=і

 

 

\!=і

 

 

)

 

каково бы ни было х ^ Е . Итак:

1, 2,

...,

q)

есть максималь­

Ранг

системы fi(x)

= аі

(I =

ное число линейно независимых линейных форм fi.

к объ­

Пусть

уо = (аі,

 

aq) е

Kq — F. Если

вернуться

яснениям

в

начале §

8, то

легко видеть,

что всякая

форма

Ф e f *

определяется как сумма

 

 

 

 

 

 

я

2 Я/фь

1=1

т. е. посредством Яі при фиксированных срі и что ф 0/ = */(ф) определяется как сумма

ч

 

 

 

Vk — 2 ßik^i

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

( 6 = 1 , 2,

р).

Если

фе£~' (0)

,

(обозначения

из

предыду­

щего предложения

4), то

(/(ф) = 0

и значит, все

ц*.

которые

определяют */(ф), равны нулю, откуда следует, что Я;, опреде­ ляющие ф, удовлетворяют системе

2 р ; Л = 0

(6 = 1,2, .... р).

і=1

 

Это есть однородная система, транспонированная к рассматри­

ваемой:

р

2 ßiklk — ai U= 1>2, . .. , q). k=\

Пусть теперь (Яь %q) — решение этой однородной транспо­ нированной системы. Соответствующая форма ф определяется

как

я

Ф— 2 Я/ф;,

г=і

все еще в обозначениях § 8. Следовательно, для у компоненты г]/ удовлетворяют равенству

я

Ф(У) = 2 Я,щ.

і=і

104

ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Таким образом, запись равенства ср(г/0) = 0 для любого ср сво­ дится к записи

 

2

М і = 0.

 

 

і=і

 

 

 

где

(U, •••> Ю — любое решение транспонированной однород­

ной

системы. Говорят, что элемент (аь

ач) ортогонален

(Xi,

hq). Можно, следовательно, сформулировать:

Для того чтобы линейная система

 

 

2 ßifelfe — аі

(1 — 1,2,

q)

 

k=i

 

 

 

имела по крайней мере одно решение, необходимо и достаточно, чтобы (аь а,) было ортогонально ко всем решениям одно­ родной транспонированной системы

2

= 0 (6 = 1,2, . .., р).

і—\

 

Р А З Д Е Л 3

МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ

§ 1. Определение прямоугольных матриц

Пусть К есть поле, Е — векторное пространство над К раз­ мерности р, F — векторное пространство над К размерности q

илинейное отображение Е в F. Пусть, далее, (ah) (k — 1,

2........р) и

(Ьі) (1— 1, 2 , . . . ,

q ) — соответственно базисы в Е

и’ в È '. Если X <= Е, то

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х =

2 %kak

 

 

и, если у е

F, то

 

k = \

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0=2»и&/ .

 

 

 

 

 

1=1

 

 

Если у есть образ элемента х при отображении f, то

 

 

f ( x ) = % l kf(ak).

 

 

Пусть

 

 

k = \

 

 

Q

 

 

 

 

f (ak) = 2 aikbi,

где

alk <= К ( 6=1, 2,

. . . . р).

 

i=i

 

 

 

 

Множество apt, где 1 k

р, 1 ^ I ^ q, называется

матрицей

линейного

отображения f

относительно базисов

(ah),

(bt). Она

3. МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ

105

записывается также в виде прямоугольной таблицы

аи а,2 . • ^ i k

 

. . а1р

«п

а 12 *’ ■

а,ft

.

• Щ Р

a q\

. .

(Xqk

.

•

Множество

(ant, .... а,л)

называется также k-u столбцом,

а множество

(atu . ... atp)

называется 1-й строкой. В этом слу­

чае говорят о матрице из q строк и р столбцов над полем К.

Важно отметить, что индексы I, k обозначают порядковые номера аш во множестве строк и столбцов. Так, аіи есть эле­ мент, стоящий на пересечении 1-й строки и /г-го столбца. Мно­ жество индексов I называется множеством индексов строки, а множество индексов k — множеством индексов столбца.

О б о з н а ч е н и е . Приведем обоснования для принятых нами обозначений, которых мы будем придерживаться всюду, где это возможно. С одной стороны, мы пользуемся записью в строку, а с другой стороны, из двух слов, которые должны стоять в конце выражения, мы, как правило, вторым помещаем наиболее длинное. И еще, — говорят о матрице из стольких-то строк и столькнх-то столбцов. Но в то же время матрица свя­ зана с отображением пространства, размерность которого равна числу столбцов, в пространство, размерность которого равна числу строк; Для лучшего запоминания мы индекс строки обо-

. значаем буквой I (ligne), а индекс столбца — буквой k (colonne); тем самым соблюдается порядок слов в выражении: матрица из стольких-то строк и стольких-то столбцов. Но для лучшего за­ поминания того, что пространство Е переменных относится к столбцам (и значит, произносится первым), а Е — к строкам (и значит, появляется вторым), мы будем обозначать число столбцов буквой (скажем, р), предшествующей в алфавите букве (скажем, q), которой мы будем обозначать число строк, что согласуется и с тем, что k предшествует в алфавите /. Если р и q достаточно невелики, можно избежать индексного обо­

значения.

 

 

 

 

 

о п р е д е л я е м ы е по­

Л и н е й н ы е о т о б р а ж е н и я ,

с р е д с т в о м

ма т рицы . По многим

признакам можно заме­

тить, что

знание

f(ah)

определяет

/.

Пусть имеются матрица

ссіи (I = 1,

2,

.. .,

q, k =

1, 2, ...,

р)

из q строк и р столбцов,

р-мерное пространство Е над К с базисом

(ah) и д-мерное про­

странство

F

с базисом

(Ьі). Соответствие,

которое аи относит

Смотрите также файлы