Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 165
Скачиваний: 0
п о |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
вусловиях общего определения, взять F — Е, то А будет опре делять эндоморфизм пространства Е (линейное отображение Е
вЕ). Если не оговаривается противное, в Е, как в пространстве переменного и как в пространстве образов, выбирается один и
тот же базис (йа).
Так, если в качестве базиса в R3 взять (1,0,0), (0,1,0), (0,0, 1), то квадратная матрица
определяет эндоморфизм пространства R3: пусть х — Ц, ц, £),
I' = «I + |
ßT) + |
у?, |
г/ = а'І + |
ß'T) + |
Y'C, |
£' = |
+ |
ß"t] + |
y'%- |
|||
Координаты |
элемента x' |
рассматриваются относительно |
того |
|||||||||
же базиса, что и координаты элемента х. |
|
матрицы состав |
||||||||||
Элементы иаа {к = 1, 2, |
... , р) |
квадратной |
||||||||||
ляют главную диагональ. |
матрица |
|
порядка |
р, элементы 6;а |
||||||||
Пусть |
/ — квадратная |
|
||||||||||
(/, k = \ , |
..., р) которой |
определяются равенствами 8;а= |
0, |
|||||||||
если I ф k, öftft = е |
(символы |
Кронекера), |
где |
е — нейтральный |
||||||||
элемент относительно умножения в К. |
|
|
|
порядка |
р, |
|||||||
Если |
А и |
В — две квадратные |
матрицы одного |
|||||||||
то оба произведения AB и ВА имеют смысл. |
Если |
В — /, |
то, |
|||||||||
очевидно, по правилам умножения, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
AI = ІА = А. |
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, I -есть нёйтральный элемент относительно |
||||||||||||
умножения квадратных матриц порядка р. (Когда |
хотят |
уточ |
||||||||||
нить, пишут Ір вместо /.) |
Матрица / |
определяет тождественное |
||||||||||
отображение х —*х пространства Е в Е. |
|
|
|
|
|
|||||||
Итак, принимая определенные выше законы сложения и |
||||||||||||
умножения, можно утверждать следующее. |
|
|
|
есть |
||||||||
Множество квадратных |
матриц |
заданного порядка |
||||||||||
кольцо.
Отметим, что даже если А и В — квадратные матрицы одного порядка, AB и ВА не обязательно равны, хотя они одновременно определены. Так, для
имеем
3. |
МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ |
111 |
|
|
|
Обратимые матрицы. |
Если А есть квадратная матрица по |
|
рядка р и если в кольце квадратных матриц порядка р матри
ца А имеет симметричную матрицу А~х (т. е. АА~1= А~'А = I), |
|||
то А называется обратимой матрицей. Если А и В — две |
обра |
||
тимые матрицы порядка р, то по теореме 2, § 5, раздел |
1, гла |
||
ва II, AB обратима и (АВ)~Х— В~ХА~Х. |
|
|
|
Пусть А — обратимая |
квадратная матрица порядка р и |
||
пусть Е — пространство |
размерности р. |
Отображение х —* Ах |
|
есть отображение пространства Е на Е. |
х~*Ах. Достаточно |
||
В самом деле, пусть |
f — отображение |
||
доказать, что f(E) имеет размерность р. Пусть <р — линейное ото бражение, определяемое матрицей А~х. Тогда <р°/ есть тожде
ственное |
отображение, |
поскольку |
А~]А = |
/, и |
значит, |
||
cp(f{E)) |
— Е. |
Но если |
р' — размерность пространства |
f(E), то |
|||
размерность |
пространства |
q(f(E)) будет |
и должна быть |
||||
равна р. А так как р' ^ |
р, то р' — р. |
|
|
очевидно, |
|||
Далее (см. раздел 2, § |
4, теорема 2, замечание) |
||||||
что / взаимно однозначно, |
и значит, |
ф = f~l. Обратно, |
если f — |
||||
линейное взаимно однозначное отображение пространства Е на Е, то матрица отображения /, отнесенная к любому базису, об ратима. Отсюда получаем теорему:
Те о р е ма . Если Е — конечномерное векторное пространство, то для того чтобы линейное отображение f пространства Е в Е было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы матрица отображения f была обратимой.
§ 5. Ранг матрицы. Транспонированная матрица
«
Пусть Е и F —два векторных пространства размерности со ответственно р и q, над одним и тем же полем К, f есть линейное отображение Е в F, имеющее ранг г (размерность подпростран ства /(£) пространства F). Мы.видели (раздел 2, § 9, 3)), что если (ак) — базис пространства Е, то г является также макси мальным числом линейно независимых элементов среди р эле ментов f(ak) пространства F. Следовательно, ранг г не зависит от выбора базиса (ак) в Е. Оно не зависит и от выбора базиса
(bt) в F.
С другой стороны, пусть Е ' — другое пространство над тем же полем и той же размерности р, что и Е, и пусть (а£) — базис
в Е'\ рассмотрим взаимно однозначное линейное отображение ф пространства Е' в Е, определенное как a'k -*ak (k = 1, 2, ...
..., р). Согласно изложенному в § 6, раздел 2, отображение /оф пространства Е' в F имеет тот же ранг, что и f (можно сказать, что ранг отображения f не изменится, если заменить Е пространством той же размерности; то же самое относится к F). Эти рассмотрения делают оправданным следующее определение.
.112 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
|
Определение. Рангом прямоугольной матрицы из q строк и р столбцов называется ранг определяемого этой матрицей ли нейного отображения р-мерного векторного пространства в q- мерное векторное пространство над тем же полем, что и рас
сматриваемая матрица. |
взять Е — Кр, F = |
Kq, а в качестве ба |
Можно, в частности, |
||
з и с а — элементы (е, 0, |
0, .... 0), (0, е, |
0, . . ., 0), . . . Тогда |
ранг будет равен размерности подпространства пространства I(q, порожденного вектор-столбцами.
Вернемся |
теперь к § 8, раздел |
2. Базису (аи) |
в Е соответ |
|
ствует базис |
(-ф/і) |
в Е*; базису (Ьі) |
в F соответствует базис (ф/) |
|
в F*. Базис |
(фй) |
называется дуальным к базису |
(аи), а (ф;) — |
|
дуальным к базису (Ьі) (или сопряженным).
Рассмотрим транспонированное отображение *f к линейному отображению f пространства Е в F. Пусть А — матрица отобра жения / относительно базисов (аи), (Ь/); ее элементы обозна чаются аіи- Формулы (2) из § 8 (раздел 2) показывают, что
матрица из р строк и q столбцов, элемент |
которой, стоящий |
на пересечении I-й строки ( / = 1 , 2 , ..., р) |
и k-ro столбца (k = |
— 1, 2, ..., q), равен элементу, стоящему на пересечении k-ü строки и /-го столбца матрицы А, есть матрица отображения lf относительно базисов, дуальных к базисам (а и ,Ь { ) . Эта матрица называется транспонированной матрицей к А и обозначается ‘А. Говорят, что %А получена из А взаимной заменой строк и столб цов в матрице А.
Очевидно, что ((‘А) = А, а на основании свойств отображе ния *f получаем
‘(А + В) = ‘А + *В, 1(АВ) = ‘В‘А
(когда А + В и AB определены).
Следующее предложение есть лишь перефразировка предло
жения из § 8 (раздел 2).
П р е д л о ж е н и е . Матрицы А и 1А имеют одинаковый ранг.
§ 6. Применение матриц к линейным уравнениям
В силу § 3, |
если А означает |
матрицу am (k = 1, 2........р, |
I = 1, 2........ q), |
то система |
|
|
21 аtklk = $i |
(1 = 1,2......... q), |
|
fc=i |
|
может быть записана в виде
Ах = Ь,
3 МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ |
113 |
|
где
X— (Іі, • • •. ір) s Кр.
ö = --(ß , . . . . ß , ) e * * .
ß частности, если p = q, А — квадратная матрица и Л обра тима, то из равенства Ах = b посредством умножения слева на А~] вытекает, что х — А~ХЬ. В этом случае имеется единственное
решение.
Таким образом, система скалярных линейных уравнений мо жет быть записана в элементарной форме ах — Ь, и в этом слу чае, когда матрица А квадратна и обратима, имеется единствен ное решение, которое записывается в той же форме, что и реше ние элементарного уравнения
ах == 6,
а именно,
X — bla = a~]b.
Г Л А В А IV
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Р А З Д Е Л |
1 |
|
|
|
|
БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ |
|||||
§ 1. Билинейные отображения |
|
|
|||
Определение. |
Пусть Е, F, G — векторные пространства над |
||||
одним и тем же полем К. Отображение f |
произведения Е X F |
||||
в G называется билинейным, если для любого у е F отображе |
|||||
ние x-*f(x,y) |
является линейным отображением Е в G и если |
||||
для любого х ^ Е |
отображение |
y-*f(x,y) |
является |
линейным |
|
отображением F в G. |
билинейной |
формой |
на Е X F. |
||
Если G = |
К, |
f называется |
|||
Это определение может быть записано при помощи следую |
|||||
щих равенств |
(между элементами из G): для любых х ^ Е , у е |
||||
е F, j ' e f j ' e f |
. a e / f имеем |
|
|
||
/ {х + х', у) = f(x, y) + f (x', у), fix, y + y') = f(x, y) + f(x, y'),
f(ax, y) = f(x, ay) = af (x, y).
Здесь снова внутренние и внешние законы обозначаются тем же способом, что и два закона поля К.
Ниже следуют замечания к этому определению и свойства, из него вытекающие, весьма важные, хотя и могут показаться
очевидными. |
означает |
произведение, |
|||
1) |
Выражение Е X F в определении |
||||
в теоретико-множественном смысле, Е на F, т. е. множество всех |
|||||
упорядоченных пар {х,у), где і е £ , у e F . |
Не делается ника |
||||
ких предположений о существовании алгебраических |
законов |
||||
на Е X F’ и>в частности, не предполагается, что £ X f |
есть век |
||||
торное пространство над К, как можно было бы полагать после |
|||||
§ 3 раздела 4, главы II. |
|
|
множества |
||
Если рассматривать линейное отображение f |
|||||
EXF |
(как векторного пространства, в котором |
{х,у) + ( х' , у' )~ |
|||
— (х + х', у 4- у') и а(х, у) — {ах,ау)) в векторное |
|
простран |
|||
ство |
G, то f(x + x',y + y' )=f {x, y) + f(x',y') |
и f(ax, ay) — |
|||
|
1. БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ |
|
115 |
|
— а Цх,у)\ |
это уже не те равенства, |
которые |
определяют би |
|
линейное отображение £ X F в G. |
векторного |
произведения |
||
2) П р и м е р ы . Обычное понятие |
||||
определяет |
билинейное отображение |
E X E в |
£, |
где £ — мно |
жество свободных векторов трехмерного пространства. Понятие
скалярного |
произведения |
определяет |
билинейную |
форму |
на |
||||||||||||||
£ X Е, причем |
£ |
есть то |
же |
самое пространство, что |
и в пре |
||||||||||||||
дыдущем примере. |
|
|
|
|
действительных |
чисел, |
£ = |
R, |
|||||||||||
|
Пусть |
Е = R — множество |
|||||||||||||||||
К = R; всякая |
билинейная форма |
на |
£ X F определяется |
как |
|||||||||||||||
(1, г]) -* аіц, |
где £ е £, |
е |
£, |
а <= К- |
|
в F, -то |
множество |
||||||||||||
|
3) |
Если / |
есть линейное отображение £ |
||||||||||||||||
/(£) |
образов |
элементов л е £ |
при отображении f есть подпро |
||||||||||||||||
странство пространства F. Это свойство, вообще говоря, не |
|||||||||||||||||||
верно, если / есть билинейное отображение £ X F в G, т. е. мно |
|||||||||||||||||||
жество в G образов элементов |
(х,у)<= EXF при отображении /, |
||||||||||||||||||
обозначаемое через f ( E X F ) , |
может не-быть подпространством |
||||||||||||||||||
пространства |
G. |
|
|
|
|
пространство |
с |
базисом alt |
а2, |
||||||||||
|
Так, пусть |
£ — двумерное |
|||||||||||||||||
F —двумерное |
пространство с базисом |
bu b2, G — четырехмер |
|||||||||||||||||
ное пространство с базисом Сц, |
с12, с21, с22. |
Пусть, далее, х — |
|||||||||||||||||
= |
iifli + І202, |
У = |
'r\ibi+T)2b2) элементу |
( x , y ) ^ E X F |
ставится |
||||||||||||||
в соответствие в G элемент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ІіЧ2сі2+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тем |
самым |
определено |
билинейное отображение / |
произведе- |
|||||||||||||||
. ния Е X F |
в G. Но элемент из G, имеющий нулевую координату |
||||||||||||||||||
при Сц, т. е. |
|
|
|
|
£і2С12 ~Ь £гіс21 ~Ь $22с22> |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
не |
является |
|
образом |
никакого |
элемента {х, у) при отображе |
||||||||||||||
нии /, если h 2 ф 0, у |
ф 0, ибо для этого необходимо было бы |
||||||||||||||||||
|
|
£і'Чі=°. |
?lrl2 = |
S l2^0 . |
|
І2ІІІ = $21 Ф О, |
У і2 = |
£22- |
|
||||||||||
Но |
ІіТЦ = |
0 |
требует |
либо |
== 0, |
либо |
т],=0, |
что не согласу |
|||||||||||
ется |
с £12 Ф 0, |
У Ф 0- Если теперь взять |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x = ( lu |
h), |
x' = (— h, |
У , |
|
у = (ті„ T b ) , |
/ |
= |
— %), |
|
|||||||||
то |
f(x, «/) + |
/(jc/ г/') не будет образом при / |
элемента из £ X £. |
||||||||||||||||
у е |
4) Для |
любого |
*<=£ |
|
имеем /(х, 0) = 0 e G |
и для любого |
|||||||||||||
£ |
имеем /(0, у) = |
0. |
|
|
|
|
наборы |
элементов |
соответ |
||||||||||
|
5) |
Если |
|
(аД, |
(ö/) — конечные |
||||||||||||||
ственно из |
£ |
и £ |
и если |
х и у являются их линейными ком |
|||||||||||||||
бинациями, |
|
|
|
* = |
|
|
|
У = Уіт\іЬи |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||