Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

I 20

ГЛ, IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

где (Ь;) — базис в F и где

суть q элементов из £.

Ч а с т н ы е случаи .

1) Если F — Е, то вместо Е ® Е пи-

2

2

тензорным квадратом или тензорной

шут <3>Е\

Ѳ Е называется

1) Пусть

Ей

Е2,

...,

Ег — конечное

множество

вектор­

ных

пространств

над

К

и f — отображение

произведения

£ =

Г

векторное

пространство F над К. Отображение f

Д £ гв

m—1

х — {хи х2, ...,

хг) е

называется полилинейным, если каждому

<= Е соответствует

такое f ( x ) ~ f ( x l, ...,

xr)^.F,

что

для

лю­

бых

m и аи ..., й,п- ь й/»+ь • •., Gr отображение

Ет в F, опре­

деленное как

( а if ■ * • , Gm _ 1, Xm , Gm + l t • • • j Gr ) >• f (G j , .

a m ^ j ,

Gm ^_j, . . . , Gr ),

® Е1п\

это отображение обозначается

m—1

г

( * ! ,

*2> • • •> * / • ) - *

®

* т

т = 1

и обладает следующим

свойством: каково бы ни было полили-

Г

Ет в векторное про-

нейное

отображение

f

произведения

П

странство F, найдется

т= 1

такое единственное линейное отображение

2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ

121

Г

f(Xu

Xr) = g

0 хп

1

Элементы из

Г

0 Е, являющиеся линейными комбинациями

Г

называются тензорами (их называют, из со-

элементов ® хт,

1

дуем

вопрос о том, будет ли произведение х 0 у

коммутативно,

т. е.

будет ли х ® у — у ® х равно элементу

О из

0

Е.

Прежде всего заметим, что если х или у

есть 0

из Е, то

X® у — у

2

х — 0<= ®Е,

и значит, в этом случае х 0 у =

у 0 х.

x = 2 i U ak,

y = ljr\iai

1

1

122

ГЛ.

IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

имеем

X® У= 2 ІкУ\іак ®а/ = 2 ійтцй/і ®аг+

fc.i

ft<^

+

2

ійТка* ® я* +

2 ё*т|*аА0 а*,

ft>'

ft

і/ 0 X — S

® аг =

ft.I

= 2 ^ft^ßft ® ЙІ +

2

Tiftl/ö* ® а, +

2

® а*.

k <1

к > I

к

Так как отображение

(х,у)-+х<8>у пространства

Е2 в

2

® £

билинейно и К коммутативно, то

X® у — у 0 -V=

2

(EftTk — I/Tife)(aft ® at — at ® ak),

(1)

k<i

x®*/ — * / ® * = 2

(ikT)[— 1;%) ak ® at.

(2) ’

Рассмотрим

выражение

(1). Число

элементов

® а;— а; ® ah

2

отличных

от

нуля,

(/г =5М ),

равно

(р — 1) /2. Они

ли­

в ® £,

нейно независимы

в

® Е,

ибо в противном

случае а* ® а; тоже

не были бы таковыми, в то время как (аи ® йг)

образуют базис

2

Следовательно,

р (р — 1)/2

элементов ah ®at— а; ® at,

в ® Е.

2

2

ІкГ\і — Ы к = 0

(e tf),

■г. е. ІкУ\і = ЬЦк. Допустим, например,

что х ^ 0 е £ ;

тогда по

крайней мере одна координата элемента х в базисе

(a h), ска­

Л/ —т~ бь

следовательно,

Отсюда

61

Лі г ___Лд (.V® х),

х ® у — X I

и

г/ ® X =

(х ® х ).

2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ

123

Итак, для того

чтобы

х ® у — у ® х,

необходимо и

доста­

точно,

чтобы X и у были

гомотетичны

в

Е, т. е. у =

Хх или

X = Ху,

X

К-

2

Рассмотрим теперь все элементы из

® Е вида х ® у —у ® х;

они принадлежат

подпространству, базисом которого

служит

(ак <Э аі — аг<8>ак),

но нельзя утверждать,

что эти элементы со­

ставляют все это пространство.

Положим

х Л У = х ® у — у ® х ,

Отображение ф

пространства

Е2 в

2

Ѳ Е, определенное как

(х, у) —►X А у, обладает следующими свойствами.

1) Оно билинейно.

2

если х — у.

2) Его значение в <8>Е равно 0,

Такое отображение называется альтернированным (знако­

переменным)

билинейным.

2

А теперь

рассмотрим

в

® Е подпространство, обозначаемое

предварительно через

порожденное

элементами ty(x,y) —

= X А у, т. е. множество

всех конечных линейных комбинаций

с коэффициентами из К тех элементов из

2

которые

имеют

® Е,

вид XЛ у. Всякий элемент х Л у есть линейная комбинация эле­

ментов ак /\аі, а значит,

и всякий

элемент из

'F — также. Так

как ak Л аі линейно

независимы в

2

то они

таковы и в VF,

® Е,

не зависит от выбора базиса (ак)

в Е.

2

Пространство

Чг

обозначается через

и

называется

Л Е

внешней

степенью пространства

Е

порядка 2.

Элементы

из

А2

Е называются

бивекторами. Частным видом бивекторов

яв­

ляются элементы

х Л у,

х Л у называется

внешним

произведе-

нием X и у. Всякий бивектор, т. е. всякий элемент из Л Е, есть

линейная

комбинация

внешних

произведений.

Отображение

(х, у) —* X Л у есть

альтернированное

билинейное

отображение,

из чего следует, что

х А у = —у А х .

(Сравните

результаты и

обозначения с таковыми из § 2 раздела 1.)

степени

Е2

Пусть

теперь f

есть

отображение

(х, у) —*■f (х, у)

124

ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

f (х, */) = 2

ilk^i — iMk) g (ak А щ).

k, I

Как и в случае тензорного произведения, достаточно задать в F

значения g для

элементов

а ,,Л а ( из

АЕ \ тогда g

будет опре­

2

делено однозначно.

Итак, мы пришли к следующему результату.

размерности

Те о р е ма .

Пусть Е — векторное

пространство

2

жения.

Пусть

Е, F — два

векторных пространства над К. и

(хь х2,

...,

xn)-*f(xi, ...,

х„) — полилинейное отображение

принимает

при х{ =

Xj

значение 0 в F для всех і Ф }

( і= 1, 2,

..., п; j =

1, 2,

.... п).