Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

116

ГЛ.

IV.

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ТО

f i x ,

*/)= 2

l k ^ i f i a k, к ) ,

k,

i

причем 2

означает,

что суммирование распространяется на

k, I

от 1 до р, а / — от

1 до q, то в случае, если необходима точная

р

ч

2-

запись, пишем 2 2 вместо

*:-=і i—i

k,i

7)

Если Н — векторное пространство над тем же полем, что

и Е,

F, G, и g — линейное отображение G в Н, то g ° f есть

пространство

Ф

и билинейное

отображение

<р

произведения

Е X F в Ф так, чтобы для любого

нием — композицией g ° tp,

где

g — линейное отображение

про­

1.

БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

117

браженив ер произведения Е X F в Ф, удовлетворяющие следую­

щим

условиям-.

I)

Ф

порождается

множеством

ф (Е X F);

2) каковы бы ни были векторное пространство G над К. и би­

линейное отображение f

произведения

E '^ F

в G,

существует

такое

линейное

отображение g пространства

Ф в

G, что f =

в смысле,

который

мы уточним, а затем

построим

их, исходя

из Е и F.

Допустим,

что существуют две

пары, Фі

и фЬ Ф2 и ф2,

1)

жение g 1 пространства Фі в Ф2, что ф2 =

ёгі°фі, и такое линей­

ное отображение g2 пространства

Ф2

в Фь что

фі =

йг2 °ф2-

Отсюда фі = g2 ° (gi «фі) = (g2 °gi)

°фі-

Ho g2ogi

есть

линей­

рождается множеством фi(E'XF), т. е. если

2 ё Фі, то г есть

линейная комбинация элементов фі(х,у):

г =

2афі(*> у),

где а е і ( ; их число конечно и они зависят

от {х,у). Так как

g2 и gi линейны и фі (х, у) =

g2 (g{(ф, (х, у))),

то

z =

g2(gi (*))■

Следовательно, g2°gi является тождественным отображе­

нием пространства Ф: в Фі.

Точно так же gi ° g2 является тож­

который мы обозначаем через ф, и ф2 =

ф°фі-

Этот результат мы сформулируем следующим образом: пара

Ф, ф единственна с точностью до изоморфизма.

q,

2) Пусть

Е имеет размерность

р, F имеет размерность

(ük) — базис

в Е, (Ьі) — базис

в

F,

и мы снова предполагаем,

что Ф и ф существуют. Тогда должно выполняться

Ф (*> У) = 2

ifciWP (ak, bi)

P

k, i

a

Д ЛЯ

любого X— 'Ei^k.ük

И любого у = 2 цфі-

k = l

1= I

Мы покажем, что pq

элементов (p(ak,bi) линейно независимы

в Ф. В самом деле, возьмем G — Кря и занумеруем

базис про­

странства

G — Kpq,

обозначая

его

элементы

через

tikt

( k — \,

2,

..., р\ I = 1,

2,

...,

q).

Элементу (х, г/)(= £

X F

по­

ставим

в

соответствие

в

Kpq

элемент,

компоненты

которого

118

ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

при

Еш равны

Тем самым определено билинейное отобра­

жение f

произведения

Е X F в Kpq■ А поскольку,

по предполо­

жению, существует такое линейное отображение g простран­

ства Ф в Kpq, что f — g °ф, то должно быть

fix,

y) =

'LlkV\ig(<J>(cik, bt)),

ft, I

и в силу построения f

fix,

y) = Hl l kWkt.

к, I

Теперь достаточно

взять в £

и в F элементы с

компонентами

(е,

0

,

0

,

...), (О, е,

0

,

...),

...,

е — единица относительно умно­

жения в А, чтобы убедиться в том, что

g(<p(«b bi)) ~

вkt

(* =

1,2, ... , р; 1=1,2,

. .. , q).

Следовательно, pq

элементов

g(q>(ak, Ьі)) линейно независимы,

и, стало быть (гл.

III, раздел 2, § 3), pq элементов ф(щ„ Ь{)

тоже линейно независимы.

пространства Ф.

3)

pq элементов <р (ак, Ьі) образуют базис

В самом деле, пусть

Ф '— пространство, порожденное эле­

ментами

ф іаи, Ьі)

и являющееся

подпространством

простран­

ства Ф,

Ф' с= Ф.

Пусть,

далее,

f — билинейное отображение

Е X F в

G и g —линейное отображение

Ф' в G, определенное

равенством

£(ф(а*, Ьі)) =

f(ah, bt).

Тогда

для любого х е Е и

любого у е

F

fix, y) =

h l k n i f i ak, bi) =

'2ih4\igiq>iak, bi)) =

к, I

к, I

= Hiëi<tilkak,

ѣЬі)) = g(2i<f(l*ak, r\ibi)) =

к, I

\k,l

}

1!іѣЬіУі =

gi<?ix,y)),

так как g линейно, а ф билинейно.

Следовательно, Ф' и

линейное отображение g простран­

ства ф '

в

ö удовлетворяют требуемым

условиям.

А так как

БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

119

виям задачи.

и з а м е ч а н и я .

1) Пространство Ф, по­

О б о з н а ч е н и я

строенное при помощи Е и F, называется тензорным произведе­

нием пространств £

и £ и обозначается £ <0 F.

F 0 £ изоморфно

£ 0 £; это свойство называется коммута­

тивностью тензорных произведений двух пространств.

2) Элемент из £ 0 F, полученный

исходя из х ^ Е , y ^ F ,

ментов X и у

(в этом

порядке). Отображение ф обозначается

{х,у)-+х 0 у

(cp. § 1, раздел 1, гл. II).

Стало быть имеем

(х + х') 0

у — X 0 у + / 0 у,

X0 {у + у') = X0 у + * 0 у',

(алг) 0

у — х 0 (ау) — а (л: 0 г/).

чае, если определено ф.

вообще говоря, не является

4) Отображение (х,у)—* х ®у ,

взаимно однозначным, ибо если

хФО е

£,

то

для г/ = 0 е £

имеем

л:0О = О0О = О е £ 0 £ .

Таким образом, £ X £ нельзя рассматривать как тождественное

части пространства £ 0> £.

у двух элементов может быть

5) Тензорное произведение х 0

коммутативным при любых х е

£,

у е £

только

в том случае,

когда £ = £, но даже

если Е =

F,

это в общем

случае не так

(см. раздел 2.)

1, 3)), что

ф ( £ Х £ )

вообще говоря, не

6) Мы видели (§