Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл (16,84Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 174

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ

125

Через Хі обозначены элементы из Е\ мы будем элемент из

Еп обозначать

буквой

х и будем записывать х =

(хь

хп)\

Хі будут

также называться координатами

элемента

х.

Вместо

(хь

...,

x n)—*f(x1,

хп)

можно

также

писать x-*f(x).

Из э т о г о о п р е д е л е н и я в ы т е к а е т ,

ч т о е с л и н е к о т о р ы й э л е м е н т

jCj и з

£ г о м о т е т и ч е н э л е м е н т у

Хі и з

£, т. е .

= а х *

( а

е / ( ) , т о

f (Х\,

• . • > Хі, •

• . , ^Х(*,

. • • ,

Xft}

Я/ (Xj,

. . .,

Хі, . , .,

Хі

• '

. I -Ѵ/г) —

0 ( е £ ) .

Пусть

X =

(хь .

х„) — элемент

из

Определение про

изведения множеств £, X • • • X £’п

(гл. I) уточняет,

что берется

элемент первого, Ей и записывается первым (запись

слева на

право), затем берется элемент второго, Е2, и записывается вто рым, и т. д. Индексы 1, 2, .... п указывают порядок. Этот по рядок называется естественным порядком 1, 2, .... п. Но если

записать (х2, хь х3,			..., хп), то		это будет означать, что в			ка
честве	первого элемента, определяющего х,					берется	элемент
из Е2, обозначенный х				2. Если рассматривать Еп, то			можно,
исходя	из	х — (х,,	х2,	..., хп)	рассмотреть	элемент	из	Еп:
(х2, х\,	хъ,	..., х„).	Эта запись		имеет преимущество		напоми

нать, как этот элемент строится из предыдущего, но обладает тем недостатком, что недостаточно выделяет порядок. Поэтому мы воспользуемся перестановками (гл. 11, раздел 2, § 1) мно

жества [1,/г], состоящего из элементов	1, 2,	...,	п.	Пусть s	есть
. перестановка. Стало быть, элемент (xs(1),		но	•	• •, х3(п)) е	Еп
состоит из тех же элементов Х \ , ...,	хп,	но	расположенных
в другом порядке. В этом обозначении	1, 2,	. . . , п		снова играет


роль естественного порядка. Этот естественный порядок 1										< 2 ■<
< 3 < ... <			п	играет		роль исходного и		если s(i),	s(j) — два
элемента		из множества s(l), ..., s(n), то индекс і означает,
что	s(i)	стоит		на	г'-м,	a s(j) — на /-м месте. Тогда			либо для
i < j	имеем		s(t) <		s(j)	(сохраняется относительный порядок),
или	для	г <	/	имеем s ( / ) <s ( t )			(порядок изменяется).			В по
следнем		случае		говорят, что s(i)			и s(j)	представляют		собой

инверсию (подразумевается: относительно естественного по рядка). Если задана перестановка s множества [1,л], то она называется четной (соответственно нечетной), если общее число инверсий, представленных упорядоченной последовательностью s(l), s(2), ..., s{n), является четным (соответственно нечет

ным) .

Рассмотрим отображение пространства Кп в К\

(Іи • • • >Ѣп) -+ П	(h — lj)
‘ < І

126	ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
(произведение	разностей g*— gj, где 1 < і < / < п) и положим
	Ніи • ••> і » ) = П ( і < - ^ ) .
	і < І

Пусть s — некоторая перестановка множества [1, п]\ положим

Уі = £s(i) и

/ і (Еі > • • •» En)	1 1	(Es ( I )	Es (/))•
	I <	І

М ежду сомножителями отображения f и отображения fs имеется взаимно однозначное соответствие. Следовательно, fs (h, ■••,!«) равно либо Д ! ь gn), либо — f(g b . . . . E n ) . Запишем fs = = (Osf; cos представляет собой четность s. Имеем ащ = ©icos, ибо

c o j (Ei. •••>En) ~	fts (Ei.	•••I En) ~ f (Eis ( о .	•••> Eis (n)) —
— f (Ut (1). • * • I	У I (n)) =	ö>lf (?/l> ■ • • J Уп ) —	(Es (1). • ■• > E s (n)) = =
			= G V ö s f ( E l ...............	E n ).

В частности, если 1 означает нейтральный элемент относи тельно умножения в К, то

<ов = 1. ® А - 1=:1. откуда (os = (os-i.

2. Определение внешней степени. Введем определение

для А Е. Начнем с п = 3. Так же как в § 2, рассмотрим для трех элементов хІУх2, х3из Е тензорное произведение Х)®х2 ® х3. Если мы будем пытаться получить коммутативность относи тельно любых двух элементов из хи х2, х3 (что в общем случае не выполняется согласно результатам, полученным для п=2), то необходимо будет рассмотреть вначале х, ® х2 ® х3 — х2 ® х{® х3 (замена х„ х2). Но необходимо также рассмотреть Xj ® х2 ® х3 —

— X!® х3® х2 (замена х2, х3) и х, ® х2® х3—х3® х2® Xj (заме на хи х3). Отсюда возникает идея рассматривать

X , ® Х 2 ® Х 3 — Х 2 ® X, ® Х 3 — X, ® Х3 ® Х2 — Х3 ® Х2 ® X].

Но в этом выражении, как нетрудно заметить, при перестановке X, и х2 выражение х, ® х3 ® х2 меняется на х2 ® х3 ® х и а х3 ® ig) х2 ® Хі на х3® х, ® х2. Поэтому добавляются + х2 ® х3 ® Х( (поскольку X, ё х3® х2 стоит со знаком — ) и + х3 ® х, ® х2. Окончательно приходим к рассмотрению выражения

Хі ® х2 ® х3 — х2 ® X, ® х3 — X, ® х3 ® х2 — Х3 ® Х 2® Х ! +

	+ х2 ® Х3 ® Х\ + Х3 ® X, ® х2.
Отметим,	что каждый член этой суммы	стоит со знаком
если перестановка индексов — четная, и со		знаком — , если она
- нечетная;	если переставить любые два Хі ,	то получим снимет-

2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ

127

ричную сумму, или, еще, если х{ равно некоторому х5, то сумма . равна нулю; это выражение элементу (хь х2, х3) из Е3 сопо ставляет элемент, который может быть записан в виде

причем суммирование распространяется на все перестановки s множества (1, 2, 3). Тем самым определено альтернированное

трилинейное отображение степени Е3 в <8>Е.

Эти замечания оправдывают следующие определения.

Рассмотрим отображение степени Еп в Ѳ Е:

(Х{, Х 2, . . . , Х п) —> 2 (äs Xs (1) ® Xs (2) ®

® Xs (п у,

здесь s — перестановка множества [1, п], а суммирование рас пространяется на все перестановки этого множества. Это ото бражение есть альтернированное полилинейное отображение.

Полагаем

	X; А Х 2 А ... А Хп =			2	ю л (О ®	.. • <8>Xs (л).
Множество элементов			Х\ А ... А хп порождает подпростран-
п		п.
ство Д Е пространства		<%>Е, называемое п-й внешней степенью,
или внешней степенью порядка п пространства Е.
Легко доказываются следующие свойства.
Если	(аъ) — базис в	Е,	то	элементы as			A - - - A a s , соответ-
• ствующие всем набором		1 -<Si <			s2< ...	<	sn <.р, составляют
	п
базис в А Е.		равна р			и п >	р, то между элемен
Если	размерность Е
тами Х \ ,	. . . , хп имеется	по крайней мере				одно линейное соот

ношение, в котором не все коэффициенты равны нулю; напри

мер, хп =	К \ Х\ + ... + Кп -	ідг„_і.	Заменив затем	хп	в ^ Ä , , ,
.. . Л х п этим выражением,		получим нуль.		П
Таким образом, при п > р внешняя степень				П	состоит из
Таким образом, при п > р внешняя степень				Л Е	состоит из
единственного элемента 0.
	П
Внешняя степень А Е		имеет	размерность Ср = р (р — 1) ...
... (р — п +	1)/я!	I	о
		I	о

Наконец, условимся, что f \ Е — Е и А Е — К. Это позволяет

сформулировать утверждение: для любого п, удовлетворяющего

п р-п

условиям 0 ^ . п ^ . р ,	/ \ Е и А Е изоморфны (так как С" = Ср~п).
I	р	Е изоморфно К.
В частности, если Е имеет размерность р, то А

128	ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

После этого без особых трудностей, если не считать длинных выкладок, доказывается тот же результат, что и в § 2.

Т е о р е м а . Всякому альтернированному полилинейному отображению f степени Еп в векторное пространство F над К соответствует такое линейное отображение g внешней степени

П		хп) <= Еп,
/\ Е в F, что для любых х = (хи ...,		хп) <= Еп,
f(x ..........Xn.) = g(Xi	А x2	A ... А Хп).
З а м е ч а н и я . Пространство	П		элементами
З а м е ч а н и я . Пространство	Л Е порождается		элементами
Х\ Л *2 Л ... Л хп, но, вообще говоря,			П
Х\ Л *2 Л ... Л хп, но, вообще говоря,		не всякий элемент из Л Е
имеет вид Х\ Л х2 Л ... Л хп.			П
Т е р м и н о л о г и я . Произвольный элемент из			П
Т е р м и н о л о г и я . Произвольный элемент из			Л Е назы

вается п-вектором, а элемент вида х {Л х2А ... А хп называется разложимым п-вектором. Каждый /г-вектор есть линейная ком бинация разложимых п-векторов.

Р А З Д Е Л 3

ВНЕШНИЕ СТЕПЕНИ ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§1. Внешние степени линейного отображения

1.			П	Пусть	/ — линейное отображение век
	Определение Л /.
торного пространства Е в векторное пространство F над К и
пусть	(хі,	...,	х „ ) е К п;	этому	элементу мы поставим	в соот-
ветствие в		П	элемент /(х^ Л ... Л /(х„). Тем самым			опреде
		Л К
лено	альтернированное полилинейное отображение степени Еп
			П

во внешнюю степень ЛК. По предыдущей теореме существует,

и притом	единственное, такое линейное			отображение	g про-
странства	п	п	п	ту же роль,	которую
	Л £	в Л К	(здесь ЛК играет

играет в предыдущей теореме пространство К), что тождественно

g(x 1 Л *2	Л • • • Л хп) — f (xj)	Л •	• • Л / (*„).
Отображение g	обозначается через	П	и называется внеш
		Л /

ней п-й степенью линейного отображения f. А поскольку мы

условились обозначать через f(x) значение отображения /	длях,
то мы можем записать
П
A f ( Л А Х2 А • • • А Хп) = / ( х , ) а / Ы А • • • А / {Хп),	( 1 )

3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

129

что равносильно определению А /, которое является линейным

ПП

отображением А Е в A F.

2. Свойства А /, а) Пусть / —линейное отображение Е в F, g —линейное отображение F в G, причем Е, F и G — векторные пространства над К, и пусть g ° f есть композиция отображений.

п				П	П	G,
Отображение А g ° f есть линейное отображение Д Е в Д						G,
и А g ° f ~ А g ° А }•
	п
В самом деле,	A g ° f	определяется	как
П
А g°f(Xi А	. . . Axn) = g(f(xi)) А ••• А g(f(xn)).
П
Но Д /определяется как
Д /(*] А • • • A xn) — f (Х)) А ...			А /(*„)€=	Д F.
	А	g для элемента ухА • • •		А уп е	П	F
Значение отображения Д		g для элемента ухА • • •		А уп е	Д	F