Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

§2 . О п р е д е л и т е л и

Оп р е д е л е н и е . Пусть Е — векторное пространство над К, раз­

мерности р. Сохраняя обозначения § 1, возьмем F = Е. Тогда f будет эндоморфизмом пространства Е (линейным отображением

Е в Е), а A f будет эндоморфизмом пространства А Е (линей-

ным отображением А Е в АЕ ) . Но (раздел 2, § 2,6)) А Е изоморфно К, т. е. имеет размерность 1, и тогда эндоморфизм

=dim Е ) .

Итак, каждому эндоморфизму f пространства Е размерности

р соответствует такой скаляр а е К, что p-я внешняя степень

V D

отображения f является гомотетией пространства А Е в А Е .

Скаляр а называется определителем эндоморфизма f. Мы обозначим его через D(f). Стало быть, имеет место тождество

Следовательно,

D ( g o f ) = D ( g ) D ( f ) ^ D { f o g ) .

(Еще раз напомним, что К предполагается коммутативным.)

§ 3. Определители матриц, определители векторов

Пусть А — квадратная матрица над К, порядка р и с об­ щим элементом а&. Можно считать, что она определяет не­ который эндоморфизм ^-мерного пространства Е. Это является тем основанием, по которому определитель этого эндоморфизма называется определителем матрицы А.

Он записывается D(A), а также при помощи квадратной таблицы

Терминология заимствована из матричной терминологии, ко­ торая распространена в этом случае на D ( A ) , и тем самым, говорят об элементах, строках и столбцах определителя D ( A ) , Имеем

D { A B ) = D ( A ) D (В ) = D { В А ) .

Но, с другой стороны, пусть аи ..., ар — базис пространства Я; рассмотрим элементы xk из Е вида

Эти соотношения определяют некоторый эндоморфизм простран­ ства Е, Обратно, если задан базис (а,) в Е и р элементов xh из Е, то компоненты элемента xh в этом базисе определяют мат­

а затем х* = ait то получим следующее предложение.

б*

нием альтернированной полилинейной формы на Ер, которая принимает значение 1 е К, когда элементы Хи равны элемен­ там ah базиса, выбранного в Е.

Формулировка этой теоремы может быть принята в качестве определения, и исходя из этого может быть построена теория определителей.

Из этой теоремы вытекают классические свойства опреде­

2)Если переставить местами только два вектора, то опре­ делитель меняется на противоположный.

3)Если два вектора тождественны, то определитель равен

нулю.

4)Если добавить к вектору линейную комбинацию р — 1

векторного пространства Е размерности р ^ п над К были ли­ нейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы внешнее произведение хх А х2 А ... А хп не было равно нулю.

Действительно, если они линейно зависимы, то, например,

=••• +«„-!*„-!.

и тогда выражение Х \ А . . . А х п обращается в нуль. Если же они линейно независимы, то дополним их множество элемен­

полном базисе). Тогда хх А ... А хп есть элемент базиса в А Е, и значит, не нуль.

§ 4. Вычисление определителей. Решение линейных уравнений. Обратимые матрицы

Пусть Хі, х%, ..., Хр — вектор-столбцы определителя

аи ... .. . а1р

«рі • ■■

Заменив в определении определителя для (хх, ..., хѵ) (ср. § 3) все Хи • • ■, Хр через их разложения по базису аи ..., ап (причем