Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

AczB=^f - ] (А) er /-1(В), Г ( А (] В ) = Г ( А )[] Г ( В ), Г '( 0 ) =

0 .

Следовательно, в силу предложения 2 получаем

а

—

П р е д л о ж е н и е 3. Пусть f — отображение Е в F,

фундаментальное семейство на F. Если любое непустое

У из Щ

семейства

на

f(E) есть фундаментальное

семейство.

В частности, если f — отображение Е на F, то прообраз фун­

даментального семейства на F есть фундаментальное семей­

ство на Е.

§ 3. Сравнение фундаментальных семейств

Определение.

Пусть на множестве

Е имеются два

или не содержащие пустое подмножество 0 .

Говорят, что 36'

менее сильно, чем 36 (или 36 более сильно,

чем 36'), если

любое непустое X' из 36' содержит некоторое непустое X из 36.

Если 36' менее сильно, чем 36 и 36 менее

сильно, чем 36',

свойству.

„

Пусть 36 и 36' — два

фундаментальных семейства на Е,

(соответственно 31’) — множество подмножеств

из Е, полу­

ченное добавлением к 36 (соответственно к 36')

подмножеств

2.

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

141

чем 96,

необходимо и достаточно, чтобы

4L' сг.4і,

т. е. чтобы

всякий элемент из 4L' был элементом из 41.

а

так как

В самом

деле,

если

0

e f ,

то

0 ^ 4 1 ',

0 e f ' 4

0 e

^ ,

то

0

€= 41.

Пусть

теперь выбран

некоторый

непустой

элемент

U' е

4l'\

U'

содержит

некоторое

непустое X’

откуда следует, что

U '^4 L . Обратно,

если 41' а 41,

то любое

U' из 41’ принадлежит 4L-, но, по определению семейства 4L',

96' <=.41'\ следовательно, каждое

X'

из 96' принадлежит 41\

стало быть, либо X' есть некоторое

Х ^9 6 ,

либб

содержит

некоторое

непустое

X ^ 8 6 .

В

частности,

для

того

чтобы 96

и 96' были • эквивалентны,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

41 = 41'.

Пусть 96 —такое непустое фундаментальное се­

Пример .

мейство

на Е,

что

всякое непустое X

из 96 пересекает неко­

торое непустое подмножество А из Е.

След 96'

семейства 96

на А есть

фундаментальное

семейство;

96

и 96' одновременно

содержат

или

не

содержат

0 .

Так

как

каждое

непустое 96

пересекает

А,

то

X сэ X {\ А =£=0 ,

и

значит, 96 менее

сильно,

чем его след 96'.

Р А З Д Е Л

2

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1.

Определение топологического пространства.

База открытых окрестностей. База топологии1

1.

Определение топологического пространства.

Множество Е

называется топологическим пространством, если каждому х<=Е

поставлено

в

соответствие

непустое

семейство 63(х)

подмно­

жеств из Е, удовлетворяющее, независимо от х, следующим

условиям:

есть фундаментальное семейство, все элементы

(ВI)

$(х)

которого содержат х.

Х^6§( х ), то X

(В2)

Если

у есть некоторая точка элемента

содержит некоторое Y^ 6 l( y) .

базой

открытых

окрестностей

Семейство

3ß(x)

называется

элемента х, а элементы из ${х)

называются открытыми окрест­

ностями элемента х.

структура.

1) Каждому х ^ Е соответствует

семейство

П р и м е р ы .

$!(х), состоящее из единственного элемента Е.

состоящее

2) Каждому

соответствует семейство Ш(х),

из единственного элемента, совпадающего с х.

142

ГЛ. V. ТОПОЛОГИЯ

3)

Каждому действительному числу х соответствует семей­

ство 33(х), состоящее из открытых интервалов ] х — 1/я, x-{-\jn[,

семейство $ (х), состоящее из всех открытых

кругов

с цент­

ром X.

Семейство $(х)

может как

содержать,

так

З а м е ч а н и е .

и не содержать подмножество {х}, состоящее из единственного

элемента

х.

Пусть Е — топологическое

про­

2.

База открытых множеств.

странство

и пусть Щ— множество

всех

элементов

X,

принад­

лежащих всевозможным базам 31 (х) открытых окрестностей.

Сформулируем свойства семейства °11.

Множество всех X, очевидно, покрывает Е.

из Ш и

С другой стороны, пусть

X

и X '— два элемента

X П X' — их

пересечение. Это

пересечение может

быть

пустым.

Если оно не пусто, то либо X и X' принадлежат одному и

тому же 31(х)

(а так как 3!(х) есть фундаментальное семейство,

все элементы которого содержат х, то

X П X'

содержит X" <=

eJf ( x) ,

а

значит, содержит

je),

либо ^ е О Д ,

Х '^ З І(х ')

и

хфх ' \

но в силу

(В2),

если у е

X fl X',

то X содержит

некото­

рое

а X' содержит некоторое

У'^ 3 3 (у),

и следова­

тельно,

X П X' => У П Y',

и

У П К

содержит У" <=31(у),

а стало

быть, X П X' для любого у е X П X’ содержит У" е

Ш,

содержа­

щее у.

теперь

ЗГ— семейство

°11

с добавленным

к

нему

пу­

Пусть

стым подмножеством 0 . .Стало быть, семейство ЗГ обладает

следующими свойствами:

семейство,

содержащее

0 .

(Ті)

ЗГ

есть

фундаментальное

(Т2) ЗГ покрывает Е.

ЗГ, Х '^ З Г , удовлетворяющие

(Г3)

Каковы бы ни были X е

условию X П X' ф

0 , для любого х е X П X' найдется в ЗГ эле­

мент X", содержащий х и содержащийся в X П X'.

под­

Обратно,

пусть на множестве Е задано семейство £7"

множеств

из

Е,

удовлетворяющее

условиям

(У,), (Т2),

(Г3).

И пусть для

любого

через 33(х)

обозначено множество

тех X из ЗГ, которые содержат х. Семейство 33 (х) удовле­

творяет

условию

(Вj),

ибо

если

Х ^ З ( х )

и

Х ' ^ З ( х ) ,

то

х ^ Х ( ] Х '

и

существует

в

силу

(Т3)

такое

Х "^3!(х ),

что

X е X" er X П X',

и это

подмножество

Х "^З І(х ).

Семейство

33(х) удовлетворяет (ß2), ибо если

то

множе­

ство X является элементом семейства ЗГ, содержащим у, по­

лагая У =

X,

получаем,

что

У<=3!(у), откуда

следует,

что для

любого

элемента

Х е І ( л) такого,

что

у ^ Х ,

существует

эле­

мент У ^.33 (у) такой, что

У с: X, что и доказывает

(В2).

2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

(43

Определение!.

Пусть

Е — топологическое

пространство.

Окрестностью элемента х е

Е называется любое

подмножество

из Е, содержащее некоторое

окрестности из Е8(х), мы укажем свойства У(х).

Св о йс т в а .

Каково

бы ни

было

г е £ ,

семейство У(х)

окрестностей элемента х обладает следующими свойствами:

(V,)

Всякое

подмножество

из

Е,

содержащее

некоторое

V ^ У ( х ) , есть окрестность элемента х.

есть окрестность

(Ѵ2)

Если

V (в. У (х) и V 'e f ( r ) ,

то ѴП V'

элемента х.

(Ѵ3)

Элемент х принадлежит любому Ѵ<=У(х).

(Ѵ4)

Если

Ѵ ^ У ( х ) , то найдется такое Ѵ ' ^ У ( х ) , что для

любого у <= V

имеет место V e f (у).

Свойства (Ѵ{) и (Ѵ3) очевидны.

что

V содержит

некоторое

Чтобы доказать (Ѵ2) ,

заметим,

а

V

содержит

некоторое

X’ евЕ8{х)\ значит, V П У

содержит X ПК',

и в силу (ß,)

содержит некоторое X"

указывает, что У(х)

есть фундаментальное семейство, не со­

держащее 0 .

(У4) рассмотрим какое-нибудь Ѵ^У(х);

Для доказательства

V содержит некоторое

І е | ( х ) . Пусть г/ еХ;

значит, X гэ У,

где У е ^ ( і/), и V содержит элемент из $(у), а

следовательно.