Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

часто следующим образом: окрестность точки х является также окрестностью для точек, достаточно близких к х, причем выра­ жение «достаточно близких к...» означает, что «существует окрестность точки х, точки которой имеют своей окрестно­ стью...».

З а м е ч а н и е . Если рассматривать окрестности точки х то­ пологического пространства, то может оказаться, что подмно­ жество {х}, состоящее из единственного элемента х, будет окре­ стностью точки X. Но поскольку окрестность точки X есть, по

Определение 2. Пусть Е — топологическое пространство и А — подмножество из Е. Окрестностью множества А называется любое подмножество из Е, которое для любого і е / 1 содержит некоторое І е І ( ф

П р и м е р ы 1). Если топология на числовой прямой R опре­ делена заданием открытых интервалов ]а,Ь[, то окрестностью

4.Открытые множества, замкнутые множества.

1.О п р е д е л е н и е в н у т р е н н о с т и . Пусть Е — топологи­

ческое пространство и А — непустое подмножество из Е. Точка X из Е называется внутренней точкой множества А, если А со­ держит некоторое X е і? {х) ; множество внутренних точек мно­ жества А называется внутренностью множества А и обозна­ чается А. Принято считать, что внутренность пустого множества

есть оно само.

Подмножество А из Е может не иметь внутренних точек. Например, на числовой прямой R (множестве действительных чисел, наделенном топологией примера 1, п. 2) подмножество, состоящее, из одного элемента, не имеет внутренней точки. Ког­ да А не имеет внутренней точки, свойство х е і не выполняется ни для какого элемента из Е\ тогда пишут А = 0 .

Всякий внутренний элемент множества А принадлежит А.

Следовательно, AczA.

Заметим, что если А содержит некоторое Х<^$(х) (т. е. не­ которое Х'Еі.бГ, содержащее х), то Л содержит и окрестность точки X, а значит, является окрестностью для х. Обратное оче­

видно. Таким образом, внутренность множества А есть множество тех точек из А, для которых А является окрестностью.

2. О п р е д е л е н и е з а м ы к а н и я . Пусть Е — топологиче­ ское пространство и А — непустое подмножество из Е. Точка х из Е называется точкой прикосновения множества А, если лю­ бое Х ^ $ ( х ) пересекает А, т. е. имеет непустое пересечение с А.

Множество точек прикосновения множества А называется замыканием множества А и обозначается Л.

Принято считать, что замыкание пустого множества есть пустое множество.

Всякая точка из А есть его точка прикосновения, ибо если х е Л, то для любого X e J " , содержащего х, X П А содержит х,

Таким образом, для того чтобы определить А и А, нет не­ обходимости обращаться ко множеству всех окрестностей точ­

О

=Е = Е.

3.Гр а ница . Точка х называется внешней ко множеству/!, если она является внутренней для дополнения к А. Однако точка, не являющаяся внутренней к А, может не быть и внеш­ ней к А. Если точка х не является ни внутренней, ни внешней для множества Л, то она обладает тем свойством, что любое

содержит точку из Л и точку из СЛ; такая точка на­ зывается граничной точкой множества Л; она служит точкой прикосновения одновременно для Л и для СЛ.

Множество граничных точек множества Л называется его границей-, граница чаще всего обозначается fr Л. Итак,

fr Л = А Л СЛ.

Отметим, что Л и СЛ имеют одну и ту же границу и что внут­ ренность, внешность и граница множества Л не имеют попарно

тельно В, если каждая точка_ из В есть точка прикосновения множества Л, т. е. если В с: Л. Если В = Е, то говорят, что Л

плотно в Е, или всюду плотно, и в этом случае Л = Е.

Так, можно показать, что относительно топологии числовой прямой R множество Q рациональных чисел плотно в R, что множества двоичных чисел (вида kj2п, где k — целое число,

ло), троичных чисел (вида k/3n) плотны относительно интер­ вала [0, 1], что множество числовых ступенчатых функций на замкнутом интервале [а, Ь] прямой, наделенное топологией рав­ номерной сходимости, плотно относительно множества непре­

сновения для А, так как если бы х была точкой прикосновения множества А, то любое Х е І ( г ) содержало бы точку из А. Следовательно, если х — внутренняя точка для С Л, то х при­ надлежит дополнению к Л, и точно так же, если х есть точка прикосновения дополнения к Л, то л: принадлежит дополнению к внутренности множества Л. Отсюда сразу следует, что

О

с л = 6 л , с л = с л .

С другой стороны, для двух подмножеств Л и В имеют место формулы

ства называется открытым, если оно тождественно своей внут­

ренности.

Множество топологического пространства называется зам­ кнутым, если оно совпадает со своим замыканием.

Всякий элемент X базы топологии 2Г является открытым

множеством.

Пусть О — непустое открытое множество и F — E — О — его

крыто.

Об ъ е д и н е н и я , п е р е с е ч е н и я . Пусть О» — семейство открытых множеств и

і

— их объединение. Если х е А, то х принадлежит по крайней мере одному из О,-, скажем, Оа. Так как Оа открыто, то суще­ ствует такое Х е І ( г ) , что А е О а сгА. Тем самым доказано, что А открыто.

Пусть

л = Г1)о г

конечное пересечение открытых множеств. Если х е . 4, то х при­

Таким образом, существует множество X' e j? (x ), содержа­

щееся в

П

П1 х ‘-

и значит, содержащееся в А.

Итак, получены следующие две теоремы, из которых вторая вытекает из первой при помощи того соображения, что допол­

2)База открытых окрестностей âS(x) есть семейство откры­ тых множеств; произвольная же окрестность точки х не яв­ ляется, вообще говоря, открытым множеством.

3)£ и 0 одновременно открыты и замкнуты.

4)Условие (02) влечет, что (Т3) выполняется. Следователь­

но, семейство открытых множеств есть база топологии на Е. Но из предыдущего вытекает, что для определения топологии не обязательно задавать все открытые множества.

5) Поскольку открытое множество О было определено как совпадающее со своей внутренностью, то это означает, что ка­ ждая точка н е О есть внутренняя точка множества О, и зна-. чит, что для любого к е О существует такое Х ^ & ( х ) , что х <=

Е Х с г О; следовательно, О является окрестностью каждой своей точки. Обратно, если О есть подмножество топологического про­

О сг О; но так как всегда А а А, то здесь О с= О <= О, и значит,

О

0= 0.

6)Предыдущее замечание доказывает также, что любое от­ крытое множество является объединением открытых множеств

базы.

7) Для любого подмножества А топологического простран­ ства Е называют окрестностью множества А любое подмноже­ ство, содержащее некоторое открытое подмножество, содержа­ щее А (что эквивалентно определению 2) п. 3). Когда мы бу­ дем пользоваться такими выражениями как открытая окрест­ ность, замкнутая окрестность, компактная окрестность, связная окрестность (см. ниже), это будет означать, что рассматривается подмножество из А, которое, с одной стороны, является окрест­ ностью (т. е. содержит открытое множество, содержащее А), а с другой стороны, обладает свойством быть соответственно открытым, замкнутым, компактным, связным.

8) Если А и В — непересекающиеся непустые_ открытые под­

быть, А и В должны пересекаться.

5.Пример. Этот пример использует свойства действительных

чисел.

Построим сначала на [0, 1] множество А следующим образом. Это множество А будет объединением счетного числа интерва­ лов; первым из этих интервалов будет ] 1/3, 2/3 [; двумя сле­ дующими будут интервалы ]1/32, 2/32[, ]7/32, 8/32[, и так далее;