Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

А поскольку все троичные числа k/3n являются точками прикос­ новения для Л и образуют плотное множество относительно

Следовательно, семь множеств, полученных таким образом, по­ парно различны. Можно показать, что если в топологическом

ОО0_ О

Лс Л с Л,

сильной, чем другая, если Ö 'czÖ . Но тогда предполагаются определенными все открытые множества для каждой топо­ логии.

Например, если рассматривать евклидову плоскость, то все свойства, относящиеся к понятиям предела и непрерывности, устанавливаются обращением к открытым прямоугольникам (произведению открытых интервалов) или к открытым кругам (множеству точек, отстоящих от некоторой точки на расстояние, строго меньшее некоторого заданного строго положительного числа). Здесь снова в принципе следовало бы определить все открытые множества, исходя из того и из другого определения, и удостовериться, что это одни и те же множества. Это произ­ водится в точности следующим образом: нужно убедиться в том, что любой круг с центром х содержит некоторый прямоуголь­ ник, содержащий х, и наоборот. При определении, принятом ра­ нее, свойство очевидно.

Кроме того, в предыдущем примере, если пересечение двух открытых прямоугольников, в случае, если они непусты, также непусто, то оно является открытым прямоугольником, а пересе­ чение двух непустых открытых кругов, вообще говоря, не будет открытым кругом. Поэтому мы принимаем предыдущее опреде­ ление понятия базы топологии, интерпретируемое следующим образом: это есть семейство таких открытых кругов X, X', ..., что если X е X П X', то существует открытый круг X", обла­ дающий тем свойством, что

X П А, где J f e f , есть фундаментальное семейство подмножеств из Е, удовлетворяющих (Тх), (Т2), (Т3). Определенная таким образом топология на А называется топологией, индуцирован­ ной на А топологией ST, а множество А называется подпростран­ ством пространства Е.

Действительно, множества X П А образуют фундаментальное

х<=Х”[\А<=:Х[\Х, {\А.

3. Образы топологии. Пусть Е и F — два множества. И пусть f есть отображение Е на F. Если ^ — фундаментальное

152 ГЛ. V. топология

семейство на £ и 0 ф. <ИВ, то f ($6) будет фундаментальным се­ мейством на £. Если 'Щ— фундаментальное семейство на F, то \~Х{Щ) является фундаментальным семейством на Е (раздел 1).

а) Если FT— база топологии на Е, то f (££"), вообще говоря,

Чтобы доказать я), возьмем Е, составленное из двух непересекающихся интервалов X, X' на числовой прямой. В каче­

мой, имеющих общий интервал. Установим взаимно однознач­ ное соответствие между X и У, X' и Y' (например, посредством аффинных функций). Отображение f множества £ на Г дает

f(X) = Y, f{X') = Y', f(X[) X') = f (X) U f (X') — YUY', f ( 0 ) — 0 .

Но если

Л Е Щ Г = |( І ) П Н Д

то f(X) n f ( ^ ) не содержит ни f(X), ни f(X'), ни f(X) Uf(X').

Чтобы доказать б), возьмем базу 3~ топологии на F; множе­ ство прообразов f~l(X) составляет фундаментальное семейство на Е и составляет также покрытие (аксиома Т\), и если

xer'wnr'UO^r'Uru').

то поскольку X П X' содержит некоторое X", содержащее /(х),то

* e r1CO<=r,W nrl(*')

(аксиома Гз).

З а м е ч а н и я . 1) В предыдущем вопросе не предполагается, что базы топологии задаются одновременно на £ и на £; пред­ ложение б) означает, что прообраз на £ топологии на £ есть некоторая топология. Ниже будет показано, что это означает,

чимся произведением конечного числа топологических про­ странств,