Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

=есть произведение п пространств. Элемент х е Е есть

упорядоченное множество {х\, х2, хп) из п элементов, при­ надлежащих соответственно Е\, Е2, ..., Еп. На Е рассматри­

крытие множества Е\ это очевидно. Пусть теперь X и X' — два элемента из 0~, имеющие непустое пересечение; пусть х ^ХПХ'.

Имеем

средством открытых прямоугольников, то они являются произ­ ведениями открытых интервалов из R, и полученная топология

средством топологии прямой R или как произведение топологии

вR на топологию в R2.

За м е ч а н и е . Очевидно, что если одна или несколько топо­ логий Т і заменяются на эквивалентные топологии, то получен­ ная в качестве произведения топология эквивалентна преды­ дущей.

§ 3. Топологии, определяемые счетными семействами

Здесь будет изучен случай, важность которого станет ясна при рассмотрении метрических пространств.

Речь идет главным образом о выяснении того, не приводит ли к определению, более гибкому, чем определение исходной топологии, предположение о том, что семейства 31(х) открытых

Отсюда вытекает, что семейства множеств $'(х) определяют

топологию на £ и что эта топология эквивалентна топологии, определенной посредством исходных семейств $(х).

Подытоживая этот результат, сформулируем следующую теорему.

Те о р е ма . Пусть Е — топологическое пространство, тополо­ гия которого определяется базой открытых окрестностей $ (х). Предположим, что для любого х семейство $(х) счетно и его элементы расположены в некотором порядке. Образуем для лю­ бого X семейство Д8'(х), элементы которого имеют вид

ГК*.

6=1

где Xh^ $ l(x) . Тогда <%'(х) определяют на Е топологию, экви­ валентную исходной топологии.

Интерес заключается, в частности, в том, чтобы иметь воз­ можность предположить, что топология определена посредством счетных баз открытых окрестностей, образующих убывающую последовательность.

З а м е ч а н и е . Частным случаем является случай, когда то­ пология задается базой открытых множеств £Г, и 0~ есть счетное семейство. Отсюда вытекает, что для любого х семейство $(х)- счетно, и тогда можно предположить, что топология определена заданием в любой точке х убывающей последовательности от­ крытых окрестностей.

. Пр и ме р ы . Примером, иллюстрирующим предыдущую тео­ рему, является пример метрических пространств, а примером, иллюстрирующим частный случай, является пример числовой прямой или пространства Rn.

Р А З Д Е Л 3

ОТДЕЛИМЫЕ, КОМПАКТНЫЕ, ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ

ИСВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Вэтом разделе представлены некоторые типы общих тополо­ гических пространств. Предположения, сделанные относительно топологии этих пространств, порождают свойства, которые не имеют места в общем топологическом пространстве.

Их важность подчеркивается всюду понятиями предела и непрерывности (4 и 5 разделы): понятие отделимого простран­ ства соответствует единственности предела (для семейств надлежащим образом выбранных элементов), а понятия ком­ пактного или связного пространства соответствуют основным свойствам непрерывных функций.

§1. Отделимые пространства, регулярные пространства

1.Отделимые пространства.

Определение. Пусть Е —некоторое множество и ST — база то­ пологии. Говорят, что топология множества Е отделима, или что

странство называется также пространством Хаусдорфа.

Говорят еще, что в отделимом пространстве можно «отделить две точки непересекающимися открытыми множествами базы-».

Если Е — отделимое пространство в одной топологии, то оно отделимо и для любой эквивалентной топологии.

Пр и ме р ы. 1) Числовая прямая R есть отделимое простран­ ство относительно топологии, определенной при помощи семей­

ство L отделимо (см. Интегрирование).

Св о йс т в а . 1) Для того чтобы пространство было отдели­ мым, необходимо и достаточно, чтобы можно было отделить две точки непересекающимися окрестностями (очевидно).

2) Любое подпространство отделимого пространства отде­

4) В отделимом пространстве всякое множество, состоящее из одной точки, замкнуто. Действительно, пусть в отделимом про­ странстве Е имеется множество, состоящее из единственного элемента х. Покажем, что дополнение Е — х открыто, т. е. любая

более специальными, чем отделимые. Отделимое пространство — это то пространство, в котором две (различные) точки могут быть отделены непересекающимися открытыми множествами.

Регулярное пространство есть отделимое пространство, в кото­ ром, помимо того, можно замкнутое множество и не принадле­ жащую ему точку отделить двумя непересекающимися откры­ тыми множествами, т. е. если А — замкнутое множество и х ф А , то можно найти такое содержащее х открытое множество О и такое содержащее А открытое множество О', что О П О' — 0 .

Это условие эквивалентно следующему условию.

П р е д л о ж е н и е . Для того чтобы отделимое пространство Е было регулярно, необходимо и достаточно, чтобы для любого всякое открытое множество, содержащее х, содержало не­

которую замкнутую окрестность, содержащую х.

Напомним, что замкнутая окрестность точки х (или вообще подмножества из Е) есть замкнутое подмножество из Е, содер­ жащее открытое множество О, которое содержит х, или, что то же самое, содержащее некоторое X ^ДІ(х).

стало быть, можно найти такие два открытых множества О и О', что X е О, А с О' и О Г) О' = 0 . Но

C X czO ' ^ X ^ d CO'

и

О Л О '= 0 = # О с: СО'.

Следовательно,

х е О с С О 'с д X.

Множество СО' замкнуто, содержится в X и содержит откры­ тое множество, содержащее х; значит, X содержит замкнутую окрестность точки х.

Обратно, предположим, что для любой точки х простран­ ства Е всякое открытое множество X, содержащее х, содержит замкнутую окрестность точки х, т. е. содержит такое открытое множество О, что

х е О с О с !

Пусть А — замкнутое множество, не содержащее х\ тогда х принадлежит С А, которое открыто, и стало быть, существует такое открытое множество О, что