Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

176 ГЛ. V. топология

каждое X е<%(х0) содержит xh, для которых k принадлежит до­ полнению некоторого конечного подмножества из N.

И мы вновь приходим к элементарному определению сходи­ мости Хп К Хо-

2) Если А есть дополнение конечного подмножества из N, т. е. элемент натурального фильтра, то множество точек хп, где п е ф вообще говоря, не будет дополнением конечного множе­ ства точек последовательности.

3) Если точки или значения хп попарно различны и если е означает множество точек хп, то образ натурального фильтра при помощи последовательности (хп) состоит из дополнений конечных подмножеств множества е.

4) Пусть е — множество значений последовательности (хп). Если xq есть точка прикосновения множества е, то она может и не быть точкой прикосновения последовательности; но если х0— точка прикосновения последовательности (хп), то она будет и точкой прикосновения множества е. Так, на R последователь­ ность (1In) имеет единственную точку прикосновения 0, но вся­ кая точка 1/п является точкой прикосновения множества значе­ ний последовательности.

5) Любая подпоследовательность последовательности, сходя­ щейся к х0, сходится к х0.

3. С х о д и м о с т ь д в о й н ы х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й . Отображение произведения N УС. N во множество Е называется двойной последовательностью. Это название проистекает из того, что переменное представляет собой пару (р, q) двух натураль­ ных чисел и что значение обычно записывается xPi q.

В топологическом пространстве Е сходимость двойной после­ довательности обычно определяется следующим образом. Рас­ сматривается фильтр на N X N, получаемый как произведение

последовательности является фильтром на Е. Говорят, что двой­ ная последовательность сходится к х0е £ (имеет х0 своим пре­

содержит точки хѵ>ч, каждый из индексов которых принадлежит дополнениям конечных подмножеств из N. Иными словами, для

топологического пространства Е сходится к Xqе Е, если для лю-

Е, Е' — топологические пространства; é~, ST' — их базы тополо-

.гий; f есть отображение Е в Е', а ST есть фильтр на Е. Сходи­ мость фильтра f{SF) в Е' не связана со сходимостью фильтра SF в С; это можно видеть на примере сходящейся последовательно­ сти, для которой является натуральным фильтром, причем можно считать N подмножеством прямой R, являющейся топо­ логическим пространством.

сходящийся к а), то можно дать следующее уточнение формули­ ровки: «f(x) стремится к х'0, когда х стремится к а по &~» озна­ чает, что «одновременно SF сходится к а в Е и f ( ^ ) — к х'0 в Е'».

Иными словами, констатируется, что два фильтра 5Г и f{@~) сходятся одновременно.

Переформулируем это определение при помощи элементов

Говорят также: каково бы ни было X' е =RSj-, (х'о)> найдется та-

кое A e f , что f(A)c. X' .

Это та же формулировка, как и для случая, когда Е — не топологическое пространство; но с условием, что каждое X <= ^ J^(a) содержит некоторое А.

когда X стремится к а по %г(а)> говорят только: f(x) стремится

кх'0, когда (или если) х стремится к а, я пишут х' = 1іш f(x).

х->а

2) Пусть (хп) — последовательность точек из Е, сходящаяся к а (ср. п. 2). Это означает, что здесь SF есть образ множества дополнений конечных подмножеств из N при помощи последо­ вательности. Вместо того, чтобы говорить: х„ стремится к а по 3~, мы условимся говорить: хп стремится к а, когда п стремится

множество Хп, соответствующих всем п, кроме конечного числа.

Стало быть, существует такое целое Р, что для любого n ^ . Р

имеем f (Хп) е Е ; это последнее утверждение переносит на рас­ сматриваемый случай понятие: f (x„) стремится к х'0, когда хп

стремится к а. В этом случае пишут

АІ -» со

вместо

хо= limf K) -

хп ^а

Пр име р ы. Пусть / — действительная функция действитель­ ного переменного х, определенная на R. Топология на R вво­ дится при помощи открытых интервалов.

1) Утверждение, что f(x) стремится к х'й, когда х стремится

к а, означает, что для любого открытого интервала X', содер­ жащего х'0, найдется такой открытый интервал X, содержащий

а, что f(X) er X’, или, иначе, для любого е > О найдется такое а, что для всех х, удовлетворяющих неравенству \х — а\ <і а,

имеем I / (х) — х'01< е.

2) Для той же функции берем в качестве фильтра, имею­ щего а предельной точкой, образ натурального фильтра при помощи последовательности (хп). Образ фильтра ST при ото­ бражении f есть семейство множеств, состоящих из f(xk), где k

принимает все натуральные значения, кроме конечного числа. Утверждение, что f(xn) имеет предел х'0, когда хп стремится к а

3)Для той же функции в качестве фильтра 0~, имеющего а

мое пространство, т. е. пространство, наделенное такой базой

дельную точку и покажем, что если эта точка существует, то она единственна. В самом деле, допустим, что SF имеет две пре­

имеются два элемента А и В без общих точек, что невозможно,

Таким образом, в отделимом пространстве произвольный фильтр не имеет предела, либо имеет единственный предел;

иными словами, в отделимом пространстве всякий фильтр имеет не более одной предельной точки.

Обратно, пусть Е — топологическое пространство. И пусть на Е существует фильтр ЗГ', имеющий две различные предель­ ные точки х н у , тогда для любого X е <Д(х) и любого Y е 3${у) пересечение X П Y не может быть пустым, и стало быть, Е не будет отделимым. Отсюда вытекает теорема:

Т е о р е м а 1. Для того чтобы топологическое пространство было отделимо, необходимо и достаточно, чтобы любой фильтр имел не более одной предельной точки.

Эта теорема часто называется теоремой о единственности пре­ дела; она выражает основное свойство отделимого пространства.

2. Пределы в компактном пространстве. Пусть Е — компакт­ ное пространство, т. е. 1) отделимое и 2) такое, что если неко­ торое семейство множеств покрывает Е, то конечное