Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

торые превосходят одновременно л: и л;', но это пересечение мо­ жет быть пустым.

Введем дополнительное предположение (благодаря которому Л П А' не будет пустым): предположим, что Е упорядочено и что если )(е £, / е £, т о существует у <= Е, превосходящее одно­ временно X и х'. Тогда предыдущее семейство 2Г становится фильтром. Когда Е — множество N натуральных чисел, наделен­ ное своим отношением линейного порядка, получаем введенный выше натуральный фильтр.

Пусть, в частности, для произвольного множества Е через Ф обозначено множество конечных подмножеств. Упорядочим Ф

требуемым условиям. Стало быть, множество подмножеств изФ, содержащих некоторый элемент ф из Ф является фильтром.

Мы принимаем следующие определения.

Определение 1. Натуральным фильтром на множестве Е называется фильтр, состоящий из дополнений, относительно Е, ко­ нечных подмножеств множества Е.

Определение 2. Фильтром сечений на множестве Ф конечных подмножеств множества Е называется фильтр сечений фильтра, элемент которого есть множество конечных подмножеств из Е, содержащих некоторое конечное подмножество из Е.

Вместо фильтра сечений на Ф будем говорить также о филь­ тре сечений, относящемся к Е. Однако не следует забывать, что этот фильтр определен на множестве Ф конечных подмножеств из Е, даже если говорится сокращенно о фильтре сечений мно­ жества Е.

Но в случае Е = N элемент фильтра сечений отождествляется с дополнением конечного подмножества, и тогда можно считать,

В частности, если / — отображение Е на Е', то как образ, так и прообраз фильтров будут фильтрами.

Пр име р . Пусть (хп)— некоторая последовательность точек множества Е, т. е. отображение множества N в Е. Образ нату­ рального фильтра на N (множества дополнений конечных под­ множеств из N) в Е посредством этого отображения есть фильтр. Но этот фильтр, вообще говоря, не будет состоять из дополнений

172 ГЛ. V. топология

конечных подмножеств множества значений последовательно­

фильтром, содержащим только один элемент, составляющий мно­ жество Е, тогда как дополнением конечного подмножества

Однако необходимо отметить, что произведение двух нату­ ральных фильтров не состоит из дополнений конечных подмно­

§2. Пределы в топологических пространствах

1.Предельная точка фильтра. Определение. Пусть (Е, £Г) —

дящимся. Таковым является натуральный фильтр на N (наде­ ленном дискретной топологией).

2)Фильтр может иметь более одной предельной точки.

3)Если X— предельная точка фильтра ST, то она может как принадлежать некоторому Д е У , так и не принадлежать ника­ кому Д е ? -. Так, фильтр &(х), состоящий из открытых окрест­ ностей базы точки X, сходится к х, и х принадлежит всем X <= ^<М(х). Напротив, множество открытых интервалов на £ с об­ щим левым концом х является фильтром, сходящимся к х, но х не принадлежит никакому элементу этого фильтра.

(Е,ЗГ)— топологическое пространство и £Г — фильтр на Е. Точ­

нений конечных подмножеств этого множества. Этот фильтр имеет точки прикосновения 0 и 1.

3. Соотношение между предельными точками и точками при­

Допустим теперь, что х есть точка прикосновения фильтра РГ. Рассмотрим множество всех подмножеств А П X из Е, где А — произвольный элемент из а X — произвольный элемент из <%(х). Никакое из подмножеств не будет пустым, так как х — точка прикосновения фильтра РГ. Если теперь взять два под­

элемент из £Г', и значит, РГ’ сходится к х.

Таким образом, если х есть точка прикосновения фильтра то существует фильтр РГ', являющийся подфильтром фильтра РГ и сходящийся к X.

Обратно, допустим, что для фильтра РГ существует подфильтр

логическом пространстве точка х является пределом некоторого фильтра 9~, то она является также пределом любого фильтра ST', более сильного, чем EF.

Можно подытожить обе теоремы следующим образом.

а) В одной и той же топологии предел фильтра сохраняется при замене фильтра на более сильный.

б) Для одного и того же фильтра предел сохраняется при замене топологии на менее сильную.

Примером, иллюстрирующим теорему 2, может служить при­ мер простой сходимости и равномерной сходимости функций

(ср. гл. VIII).

З а м е ч а н и е . Обращение теоремы 2 является точным. В са­

пологии £Г, менее сильной, чем ЗГ’. Итак, можно сформулиро­ вать следующий результат.

Т е о р е м а 3. Для того чтобы на одном и том же множестве Е топология ЗГ была менее сильной, чем топология ЗГ', необхо­ димо и достаточно, чтобы любой сходящийся фильтр в (Е, ЗГ') сходился в (Е, ЗГ) к тому же пределу.

Наконец, отметим, что для теорем 1 и 2 имеет место сле­ дующий частный случай.

Сл е д с т в и е . 1) Если в топологическом пространстве фильтр ЗГ сходится к X, то любой эквивалентный фильтр сходится к х.

2) Если фильтр ЗГ на множестве Е сходится к х в топологии ЗГ, то он сходится к х и в любой эквивалентной топологии.

Е'. Следовательно, мы будем исследовать случай, когда Е' — то-

одну или несколько точек прикосновения.

Наконец, фильтр f(&~) может не иметь ни предельной точки, ни точки прикосновения.

В соответствии с определением предела фильтра можно

леі Ѵ — натуральное число. На N множество дополнений конеч­ ных подмножеств составляет фильтр, который называется нату­ ральным фильтром.

Пусть имеется последовательность в топологическом про­ странстве Е, т. е. отображение f множества N в Е, значение f (n) которого для п е N обозначается также хп. Обычно выражение «хп стремится к х0 (или сходится к х0) по натуральному филь­ тру» заменяется выражением «хп стремится к Хо, когда п стре­ мится к бесконечности», и пишется

х0 = lim хп.

ОО

Иногда делается дальнейшее упрощение и говорится «хп стремится к ха, или имеет пределом х0». Подразумевается, что речь идет о сходимости по натуральному фильтру.

З а м е ч а н и я . 1) Утверждение, что хп стремится к х0, озна­ чает, таким образом, что любое І е Л (а:0) содержит некоторое f(/4), т. е. здесь — множество точек Хи, где k принадлежит до­ полнению конечного подмножества из N. Следовательно, для лю­ бого У е Л ( х 0) существует такое целое р{Х), что для любого