Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 199

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

180 ГЛ. V. топология

число множеств X из этого семейства покрывает Е, или, что эквивалентно, такое, что любое семейство замкнутых множеств с пустым пересечением содержит конечное подсемейство с пу­ стым пересечением. Пусть в компактном пространстве Е имеется фильтр SF. Если ЗГ имеет точку прикосновения, то пересечение

П Ä замыканий множеств

непусто. Если

ЗГ не имеет

точки прикосновения, то П А — 0 ,

а так как все

А замкнуты,

то существует конечное семейство множеств Ä с пустым пере­ сечением, и значит, конечное семейство соответствующих мно­ жеств А имеет пустое пересечение, что невозможно, поскольку 3F есть фильтр. Следовательно, всякий фильтр 5Г в компактном пространстве Е имеет точку прикосновения.

Обратно, пусть Е — топологическое пространство и пусть вся­ кий фильтр имеет точку прикосновения. Покажем, что для лю­ бого семейства замкнутых множеств в £ с пустым пересечением существует конечное подсемейство с пустым пересечением.

Пусть

(Fi) — такое семейство замкнутых

множеств из Е, что

П Fi =

0 , и пусть вопреки утверждению,

любое конечное число

множеств Fi имеет непустое пересечение.

Возьмем произвольно конечное число Fu F2, ..., Fv таких множеств и обозначим через множество всех F\, Р2, . . . , Fv, к которым добавлены их конечные пересечения; получим фильтр. Ибо если Л е J и ß e J , то Л и ß являются конечными пере­ сечениями этих Fi, а значит, А Г) В также, и стало быть,

е 3F, а так как мы предположили, что пересечение любого

конечного набора множеств Е, непусто, то 0

фк SF. По условию

же фильтр З2*

имеет

точку прикосновения

х, которая, стало

быть, является

точкой

прикосновения всех

элементов фильтра

и поэтому принадлежит всем элементам фильтра (ибо все они замкнуты), а значит, в частности, и пересечению произвольного семейства множеств Ег, что противоречит предположению, что это пересечение пусто. Отсюда вытекает

Т е о р е м а 2. Для того чтобы пространство было компактно, необходимо и достаточно, чтобы любой фильтр имел точку при­ косновения.

З а м е ч а н и я и примеры. 1) Согласно теореме § 2, п. 3 для того, чтобы пространство было компактно, необходимо и до­ статочно, чтобы из любого фильтра можно было выделить схо­ дящийся фильтр.

2) В дальнейшем будет показано, что замкнутый интервал [а, Ь\, где а, b — конечные действительные числа, есть компакт­ ное подпространство пространства R. Само R, напротив, не яв­ ляется компактным, ибо содержит натуральный фильтр, кото­ рый не имеет в R точки прикосновения.

3) Если (хп) — ограниченная последовательность действи­ тельных чисел, то она принадлежит некоторому замкнутому ин­

4. ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ

181

тервалу [а, Ь]. После того как доказано, что [а, Ь] есть компакт­ ное подпространство, становится возможным утверждение о том, что из {Хп) можно выбрать сходящуюся последовательность.

Следующая теорема иллюстрируется при помощи контрпри­ мера. Если пространство не компактно, то фильтр может иметь единственную точку прикосновения и, однако, не быть сходя­ щимся. В самом деле, возьмем образ натурального фильтра при помощи последовательности (хп) вида х2р — 0, х2р+і = р. Эле­ мент этого фильтра состоит из 0 и из множества натуральных чисел 1,2,3, ..., кроме конечного числа из них. Единственной точкой прикосновения любого элемента этого фильтра является точка 0, но фильтр не сходится. Суть этого явления содержится в том факте, что пространство R не компактно. Это уточняется следующей теоремой.

Т е о р е м а 3. Для того чтобы фильтр на компактном про­ странстве имел предельную точку, необходимо и достаточно, чтобы он имел единственную точку прикосновения.

Для доказательства необходимости мы докажем лемму, в

которую входит лишь

условие отделимости пространства В.

Ле мма . Пусть Е

— отделимое пространство, ЗГ — сходя­

щийся фильтр и х — точка прикосновения фильтра ЗГ\ тогда х

есть предел фильтра ЗГ.

 

 

имеет предел, то пусть этим пре­

Действительно, так как

делом будем х0. Пусть,

далее, х — точка

прикосновения

филь­

тра

; допустим, что х ф х0.

Поскольку Е отделимо, то можно

найти

Х е Й ( т )

и X0^ 3 S ( xq)

без общих точек.

А так

как

х0

.есть предел фильтра

 

то Х0 содержит некоторое i e f

;

а в

силу того,

что

X — точка

 

прикосновения

фильтра

X пересе­

кает все элементы из ЗГ,

 

и, в частности,

элемент А. Но соотно-

шения

 

хпХо==0г

AczXo,

А [}X Ф 0

 

х =

х0.

не могут

выполняться

одновременно.

Следовательно,

Если к этой лемме добавить тот факт,

что в отделимом про­

странстве имеет место единственность предела фильтра ЗГ, то получится, в частности, первая часть теоремы 3, а именно: если фильтр на компактном пространстве имеет предельную точку, то он имеет единственную точку прикосновения.

Пусть теперь имеется компактное пространство, фильтр

на нем и пусть 8F имеет точку прикосновения х, и притом един­ ственную. Покажем, что 3F сходится к х, т. е. любое множество

Х е І ( х ) содержит некоторое y l e f .

Допустим обратное, т. е.

что существует такое

что

для любого

най­

дутся точки из А, не принадлежащие X. Пусть

В = А П С X

есть подмножество из А, внешнее к X. Множества В образуют

фильтр 3F'. В самом деле, если

В' =

А ' ПСХ , то

 

В П В ' ^ А П А ' П С Х ,

182

Гл. V. ТОПОЛОГИЯ

 

а так как АП А' содержит некоторое А" е

и так как, по пред­

положению, любое А" е

имеет точки

вне X, то В П В' со­

держит

А" Л С * е=

 

 

 

С другой стороны, никакое В не пусто. Поскольку Е компактно, фильтр имеет по крайней мере одну точку прикосновения х' (теорема 2). Но каждый элемент В содержится в некотором А, ибо В = А Л СХ\ поэтому утверждение о том, что х' — точка прикосновения фильтра ÈT', означает, что каждое X'<=â$(x')

пересекает все В,

а значит, пересекает и все Л; следовательно,

х' является также

точкой прикосновения фильтра

Наконец,

х' отлично от х; в самом деле, х' принадлежит замыканию В множества В, каково бы ни было В, в то время как х ф В , по­ скольку X Л В = 0 . Тем самым теорема 3 доказана.

Пример . Если на интервале [а, b] из R, т. е. на компактном пространстве, последовательность попарно различных точек хп имеет предел х, то не существует точки прикосновения, отлич­ ной от X.

Р А З Д Е Л 5

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

§1. Определения и общие свойства

1.Понятие непрерывного отображения.

Определение 1. Пусть Е, F — топологические простран­ ства и пусть f —отображение Е в F. Говорят, что f непрерывно в точке а ^ Е , если

lim f(x) ~f(a) .

х-> а

Напомним, что limf(x) есть предел по фильтру $(х), кото-

х-> а

рый является базой открытых окрестностей точки х в Е. Это определение может быть также сформулировано следующим образом: отображение f непрерывно в точке г е £ , если f(x) стремится к значению f(a) e f , когда х стремится к а по Л(х).

Определение 2. Пусть Е,

F — топологические пространства и

пусть f — отображение Е в

F. Говорят, что f непрерывно

в Е,

или на Е, если оно непрерывно в каждой точке из Е.

 

Когда не может возникнуть никакой путаницы, говорят про­

сто, что отображение f непрерывно.

 

Приведем определения, эквивалентные предыдущим.

 

Определение 1'.

Отображение f топологического простран­

ства

Е

в топологическое пространство F непрерывно в

точке

а е

Е,

если выполнено одно из следующих условий:

 

S. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

183

1) Для любого множества Y<=3S(f(a))

в F множество f-'(Y)

является окрестностью точки а в Е, т. е. содержит множество

X <= $І(а).

 

W точки

f(a) в F множество

2)

Д ля любой окрестности

f~x(W)

есть окрестность точки а в Е.

 

 

3)

Для любого фильтра FF в Е, имеющего а своим пределом,

f(&~) имеет предел f(a) в F.

 

 

 

Если обратиться к определению предела (раздел 4, § 2, п. 5),

то исходное

определение непрерывности

будет означать,

что

для любого

Y^.3S(f(a)) найдется такое

что f(X)

cz Y,

или Xcz f ^ ( Y) . Следовательно,

/-1(У) есть подмножество из Е,

содержащее X ej5(a), а значит,

является окрестностью точки а.

Обратное очевидно,

что и доказывает 1).

 

 

 

 

Если f непрерывно и если W есть произвольная окрестность

точки f(a) в F, то W содержит некоторое Y^3l(f(a));

но

 

 

 

W zzYz=$f~l (W) го г

’ (У);

 

 

 

следовательно, f~x(W)

есть окрестность

точки а. Обратно,

если

для любой окрестности

W точки f(a) в F множество f_I (W)

 

яв­

ляется окрестностью точки а

в F, то,

взяв W = Y е

■$(/(«)),

вновь приходим к свойству 1).

 

 

а е £ ,

и

Наконец, предположим, что f непрерывно в точке

пусть FF— фильтр,

имеющий

а своим пределом. Если

У е

е $ ( / ( а ) ) , то найдется такое

X e Ä ( a ) , что YzDf(X); но

по­

скольку & сходится к а, X содержит некоторое А (=

а значит,

У :э((Л ), чем доказано, что

f(@~) сходится к f(a).

Обратно,

'если свойство 3) выполняется,

то, взяв 3~ = FS(a), вновь прихо­

дим к первоначальному определению непрерывности.

 

 

 

Определение 2'.

Отображение f топологического простран­

ства Е в топологическое пространство F непрерывно в Е, если выполняется одно из следующих условий:

1) Для любого Y из базы топологии пространства F множе­ ство f_I (У) открыто в Е.

2)Прообраз любого открытого множества из F является от­ крытым множеством в Е.

3)Прообраз любого замкнутого множества из F является замкнутым множеством в Е.

Свойства — определения 2) и 3) эквивалентны, ибо для лю­ бого подмножества В из F имеем

СГ'(В) = г ](СВ).

Допустим, что выполняется 2); тогда, если множество У от­ крыто в F, свойство 1) тоже выполняется.

Обратно, допустим, что выполняется 1). Пусть О '— откры­ тое множество из F и О — такое подмножество из Е, что f ( 0 ) ~

184

ГЛ. V.

топология

= O'. И пусть а е О ;

так

как О' открыто, то оно является

окрестностью точки f(fl), или, иначе, существует такое множе­

ство Y из базы топологии в F, что f ( a ) ^ Y с

O'. Но f~l (Y) а О

содержит а и открыто, а значит,

содержит некоторое X e Ä( a ) .

Следовательно, О содержит

І Г е І ( а ) , и это

имеет место

при

любом а; стало быть О =

/ 1

(O')

открыто в Е.

 

 

 

Наконец, покажем, что свойство 1) эквивалентно определе­

нию. Если свойство 1)

имеет место, то для

любого

а е £

и

Y &â$(f(a)) множество

f~l (Y)

открыто, содержит а,

и стало

быть, является окрестностью точки а, что дает нам определение

1'(1)). Обратно, если / непрерывно

в каждой точке а из Е,

то обозначив через Y некоторое открытое множество базы в F,

получаем, что для любого а е / " ^ )

множество f~l(Y) является

окрестностью точки а в Е, а значит, и окрестностью каждой из своих точек, т. е. открыто в Е (раздел 2, § 1, п. 4. Следствия и замечания, 5)).

З а м е ч а н и я . 1) В разделе 2 (§ 2, п. 3 Образы топологии) мы показали, что если ЕГ— база топологии на F и если f — ото­ бражение Е в F, то f~x(ET) есть база топологии на £. Как уже говорилось выше, это свойство означает, что f непрерывно в то­

пологии на Е- Если Е — заданное топологическое пространство и если ото­

бражение f пространства Е в топологическое пространство F непрерывно в Е, то прообраз при отображении f открытых мно­ жеств базы пространства F есть база некоторой топологии в Е, и каждое открытое множество этой базы открыто в заданной топологии на Е (определение 2', 1)).

Можно также, при

тех же предположениях, утверждать,

что прообраз топологии

пространства F при отображении /

будет на Е менее сильной топологией, чем топология, задан­

ная на Е.

2) Если / непрерывно, то образ открытого множества в Е, вообще говоря, не будет открытым множеством в F. Так, функ­ ция X \х\, отображающая R в R, переводит открытое множе­

ство X — ]— 1, +1[ базы в интервал [0, 1[,

который

не открыт и

не замкнут.

 

 

 

 

 

3) Применив одно из определений непрерывности (скажем,

определение 2'), видим, что если

отображение

/

простран­

ства Е в пространство F непрерывно, то оно остается непрерыв­

ным при замене топологии в £ на

более сильную,

а топологии

в F — на менее сильную; в частности, это будет так

и при за­

мене топологий на эквивалентные.

 

 

 

Пусть Е, F, G

2.

Композиция непрерывных отображений.

"три

множества, f — отображение Е

в F

и

g — отображение F

в G. Отображение g'°f есть отображение,

которое элементу х е

е Е ставит в соответствие элемент

g(f(x))

множества G. Ко­

Смотрите также файлы