Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 190

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3. ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА

167

Таким образом, А =э [)Un- Остается, стало быть, доказать, что пересечение множеств Un непусто. Но мы выбирали и 2 компакт­ ным, а поскольку Ün er f/2 (п ^ 2), то Оп образуют в компакт­

ном пространстве U2 убывающую последовательность замкну­ тых множеств. Следовательно, их пересечение непусто (ср. опре­ деление компактных пространств).

Сл е д с т в и е . Локально компактное пространство не может быть счетным объединением множеств, замыкание которых не содержит внутренних точек.

§ 4. Связные пространства

Мы ограничимся практически одним опредлением связного пространства, или связного множества, понятие которых будет входить в свойства непрерывных функций.

Определение. Топологическое пространство Е называется связным, если оно не может быть представлено как объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств. Множе­ ство А в топологическом пространстве Е называется связным, если оно связно как подпространство.

Утверждение, что подмножество А топологического простран­ ства Е связно, равносильно утверждению, что подпространство А не является объединением двух непустых непересекающихся открытых множеств, при условии, что эти множества опреде­ ляются при помощи индуцированной топологии. Но открытое множество в индуцированной топологии имеет вид О Л А, где О есть открытое множество в Е. Значит, если А связно, то не суще-

*ствует двух открытых множеств О, О' из Е, покрывающих А и таких, что О П О' Г) А — 0 . Обратное очевидно.

Вместо этой негативной формулировки можно дать следую­ щую: множество А связно, если для любых открытых множеств

О, О' из Е, покрывающих А и таких, что О П А и 0 ' Л А непусты, имеем

ОП О' П А ф 0 .

За м е ч а н и я . 1) Если Е несвязно, то оно является объеди­ нённом двух непустых непересекающихся открытых множеств О

и О'.

А

так как Ё = О U О' и О П О' — 0 , то О есть дополнение

к О',

а

О' — дополнение к О. Следовательно, О и О' одновре­

менно замкнуты и открыты. Стало быть, в определении связности можно вместо открытых множеств пользоваться замкнутыми множествами и можно определять связное пространство Е при помощи того факта, что в нем одновременно замкнутыми и от­ крытыми являются только оно само и пустое множество.

2)

Для

любого подмножества А из

Е имеем А — А U 0 и

А П 0

— 0 .

Следовательно, условий" «Л

связно, А — О U О', где

168

ГЛ. V. топология

 

О и O' — непересекающиеся открытые множества», влекут: «одно

из открытых множеств О, О' пусто».

подмно­

П р е д л о ж е н и е . Объединение семейства связных

жеств с непустым пересечением связно.

 

В самом деле, пусть

(А{) — семейство связных подмножеств

пространства Е и пусть

А = U Лг. Так как ГМг ¥= 0 ,

то пусть

xe= f)A i.

І

Допустим, что А не связно; тогда подпространство А будет объединением двух непустых непересекающихся открытых мно­ жеств О, О '. Тогда X принадлежит одному из этих множеств, например, О.

Следовательно, для любого элемента А, из семейства имеем

А{= (О П At) U (О' П А,),

(О П At) П (О' П Лг) = 0 ,

поскольку О(]О ' — 0 \ кроме

того, множества ОПЛг, О' Г) Аі

открыты в подпространстве Лг. Но Лг предполагались связными;

значит, ОПЛг

или О'

П Лг пусто (замечание 2). А так

как мы

предположили,

что х е

О,

то

О не пусто, Лг тем более,

и тогда

О П Лг ф 0 , а стало быть,

0 '

П Лг = 0 .

 

Таким образом, для любого элемента Лг семейства рассма­ триваемых связных множеств множество О' не имеет с ним ни одной общей точки. Следовательно, 0 ' не имеет общих точек с

U Лг.

Но, по предположению, О' не пусто, и Л = О U О',

а зна­

чит,

O 'czA . Тем самым мы пришли к противоречию.

 

Р А З Д Е Л

4

 

ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ*

 

* Наиболее элементарными являются понятия предела

и схо­

димости для последовательности действительных чисел.

чисел

Выражение

«последовательность (хп) действительных

имеет пределом (или сходится к) действительное число х0» озна­ чает, что « любой открытый интервал, содержащий лт0, содержит все хп, кроме конечного числа». Тогда говорят, что (хп) схюдится, или стремится к лго, или имеет пределом х0, когда п стре­ мится к бесконечности.

Но и для числовых функций тоже определяются, например, такие выражения, как «f{x) стремится к у, когда х стремится к х0» или «...когда х стремится к нулю справа» и т. д.

Важны и другие элементарные понятия. Так, точка х0 есть точка накопления счетного множества, если любое открытое мно­ жество, содержащее Хо, содержит точку множества, отличную от х0. Или, еще, понятие подпоследовательности заданной последо-

4.

п р е д е л ы , сходим ость

169

вательности, теорема

Больцано — Вейерштрасса

на R: из лю­

бого бесконечного ограниченного множества можно выбрать

сходящуюся последовательность; понятие двойной последова­ тельности (xPiq), сходящейся к х0, когда р и q стремятся

к бесконечности.

Если мы теперь вернемся к случаю последовательности (хп), сходящейся к Хо, когда п стремится к бесконечности, то мы мо­ жем заметить следующие факты, содержащиеся в определении.

1) Выражение «все хп, кроме конечного числа» означает, что рассматриваются дополнения (относительно множества (хп))

конечных

подмножеств. Обозначим эти дополнения через

А, А ',...

Никакое из них не будет нулем, и пересечение А П А'

двух таких множеств снова является дополнением конечного подмножества. Следовательно, множество дополнений относи­ тельно множества хп конечных подмножеств есть фундаменталь­ ное семейство, никакой элемент которого не является пустым.

2) Выражение «любой открытый интервал X, содержащий Ха, содержит все хп, кроме конечного числа», означает, что любое

о) содержит некоторое А.

Предыдущие примеры и замечания ведут к определениям и свойствам, которые следуют ниже.

§1. Понятие фильтра

1.Определение. Непустое семейство подмножеств некоторого множества Е называется фильтром, если оно является фунда­ ментальным семейством, не содержащим пустого множества.

Мы будем обозначать фильтр через 2Г’, и т. д.

Если фундаментальное семейство не содержит 0 , то пересе­ чение конечного числа элементов семейства непусто (ср. раздел 1, § 2). Следовательно, любое конечное пересечение элементов фильтра непусто.

Пр и ме р ы . 1) В топологическом пространстве для любого х база открытых окрестностей $І(х) является фильтром. Напро­ тив, база топологии ЗГ не будет фильтром, так как 0 e f ,

2)На числовой прямой множество непустых открытых интер­ валов с общим левым концом (или с общим правым концом) есть фильтр.

3)Пусть N — множество натуральных чисел. И пусть для любого п через X обозначено множество натуральных чисел ^ п. Семейство множеств X составляет фильтр, так как никакое X не пусто, и если X и X' — два множества из семейства, опреде­ ленные числами п и п', то X П X' есть множество натуральных

чисел,

больших т а х(п,п'), и значит,

принадлежит

семейству.

2.

Сравнение

фильтров.

Пусть

и ЯГ — два

фильтра

на

одном

и том же

множестве

£; говорят, что ЗГ

сильнее

3F’

170

 

 

ГЛ. V.

топология

 

или ЗГ' слабее 5Г, если фундаментальное семейство

сильнее,

чем

(ср. раздел 1, § 3), т. е. если любое А'

содержит

некоторое

 

Если Г ' сильнее, чем ЗГ и ЗГ сильнее, чем ЗГ',

то ЗГ и ЗГ' называются эквивалентными.

базами то­

Приме р .

Если множество Е наделено двумя

пологий ЗГ и ЗГ'

и если ЗГ сильнее, чем ЗГ' , то

для любого

х е .Е

фильтр

&J- (х) сильнее,

чем 38^ {х). Если Г

и Г ' экви­

валентны, то Дг(х) и $г'{х) эквивалентны.

 

П о д ф и л ь т р

фил ь т р а .

Пусть ЗГ — некоторый фильтр на

множестве Е. Фильтр называется подфильтром фильтра Г , если он получен взятием подмножества каждого множества из ЗГ.

Так, пусть Е = N, и Г есть фильтр, состоящий

из дополне­

ний конечных подмножеств (натуральный фильтр

на N\ ср.

ниже). Рассмотрим некоторую бесконечную последовательность натуральных чисел пи. Пусть ^ “' — фильтр, состоящий из допол­ нений конечных подмножеств множества щ. Всякий элемент из

Г

содержит некоторый элемент из Г '.

чем Г .

 

Подфильтр фильтра Г

является более сильным,

Г

И н д у ц и р о в а н н ы й

ф и л ь т р

(ср. раздел },

§ 2). Пусть

есть фильтр на множестве Е и пусть X — непустое подмноже­

ство множества Е. Если любое / І е У пересекает X, то множе­

ство пересечений

А Г)

X,

где

есть фильтр,

называемый

фильтром, индуцированный на X фильтром Г .

 

 

Легко видеть,

что фильтр ЗГ’ из предыдущего примера может

рассматриваться

как

фильтр, индуцированный

натуральным

фильтром ЗГ на множестве натуральных (/г*).

 

 

3. Натуральный фильтр, фильтр

сечений. Пусть на множе­

стве N натуральных чисел определен фильтр Г , образованный подмножествами А, состоящими из натуральных m ^ п для эле­ ментов п е N. Таким образом, любое является дополне­ нием некоторого конечного подмножества из N.

Пусть теперь ЗГ' — множество дополнений конечных подмно­

жеств из N. Ясно, что 2Г' есть фильтр. Если А '^ З Г ', то

най­

дется такое конечное подмножество <р' из N, что А' = Сф'.

Если

п' — наибольшее из чисел, составляющих ф', и А — множество целых m ^ п', то А' гэ А. Обратно, если А е Г , то А <= Г '. Сле­ довательно, фильтры ЗГ и ЗГ' эквивалентны.

В этом замечании участвует линейный порядок на N.

Исходя из предыдущего определения фильтра Г , можно ввести понятие фильтра на упорядоченном множестве Е.

Пусть Е — множество, которое мы предположим вначале упо­ рядоченным отношением, обозначаемым

Пусть для любого і : е £ множество А есть множество у ^ Е , у ^ X. Это множество А, являющееся подмножеством из Е, на­ зывается сечением, определяемым элементом х. Пусть ЗГ есть множество, состоящее из множеств А. Никакое А не пусто. Если

Смотрите также файлы