Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 202
Скачиваний: 0
190 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Имеем также
|
|
|
|
II X 1 — 1 у I K U |
— у I, |
|
|
|
|
|
|
||
и кроме того, отметим, что |
если |
a e Q +, |
то |
\х\ |
^ |
а |
означает, |
||||||
что |
—а ^ |
X ^ |
а, |
\ х \ ^ а |
означает, |
что |
х ^ |
а |
или |
х |
— а, |
||
I л:I |
< а |
означает |
—а < х < а, |
|х| |
> а |
означает |
х > а |
или |
|||||
X < |
— а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. Топология на Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Понятия, относящиеся к топологии на Q, иллюстрируют об |
||||||||||||
щие понятия, |
изложенные в предыдущей главе. |
|
|
|
|
||||||||
|
1. Интервалы. Для любых рациональных чисел а, Ь, удов |
||||||||||||
летворяющих условию а |
Ь, открытым интервалом с- концами |
||||||||||||
а, b называется множество таких рациональных х, что а < |
х < |
||||||||||||
< |
Ь. Он обозначается ]а, Ь[. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Точка а называется левым концом, а точка b — правым кон |
||||||||||||
цом. Условимся раз и навсегда, что запись ]а, Ь[ представляет собой обозначение открытого интервала, где а ^ b, или, иными
словами, |
первая буква (при чтении слева направо) означает |
|
левый конец. |
|
|
Если |
а = Ь, то |
|
Если |
а < |
] и, Ь[ — 0 . |
Ь, то |
||
|
|
]а, Ь[ Ф 0 , |
ибо (а -Г b)/2 |
] а, b[. |
|
Точка (а-\-Ь)/2 называется серединой интервала ]а,Ь[.
Так как Q есть аддитивная группа, то любой непустой от
крытый интервал ]а, Ь[ может |
быть получен переносом на |
(а + Ь)/2 из интервала ]{а — b)j2, |
(b — а)/2[. Именно: |
] а, Ь[ = ](а — Ь)/2, (b — а)/2 [ + (а + Ь)/2.
Интервал |
}{а — b)/2, |
(b — а)/2[ |
имеет серединой |
0 — ней |
||
тральный элемент |
Q относительно |
сложения. |
Если |
положить |
||
г — (Ь — а), |
то |
этот |
интервал представим |
также |
в виде |
|
] - г /2 , г/2[.
Наконец, напомним, что замкнутым интервалом, обозначае мым через [а, Ь], называется множество тех х е Q, для которых выполняется а ^ х ^ Ь. Концы замкнутого интервала ему при надлежат, и если а = Ь, то интервал [а, Ь] сводится к точке, и значит, не будет пустым.
2. База топологии, база открытых окрестностей. В качестве
базы топологии (или базы открытых множеств) принимается множество 3~ открытых интервалов из Q.
МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ |
191 |
Нетрудно проверить, что £Г есть фундаментальное семей ство, что множество открытых интервалов покрывает Q (аксиома Ті) и что если
і е ] а , Ь [ (1 ] а', Ь ' [ ф 0 ,
то существует некоторый интервал ]а", Ь"[, содержащий х и содержащийся в пересечении двух интервалов (аксиома Т2). Для доказательства последнего отметим, что если
хс=]а, Ь[[)]а', Ь'[ ф 0 ,
то, с одной стороны, X << b и X С |
b', а с другой стороны, |
а < х |
|
и а' <. X , и значит, достаточно взять |
|
|
|
а" = sup (а, a'), |
b" — inl(b, |
b'). |
|
Можно также задать базу открытых окрестностей элемента О, |
|||
взяв в качестве J/(0) множество |
открытых |
интервалов, |
содер |
жащих 0, а затем положить &(х) = .51/(0) -f- х для произволь ного x e Q .
Непосредственно проверяется, что $(х) удовлетворяет усло виям (Ві), (В2) (гл. V, раздел 2, § 1). Определенная таким спо собом топология эквивалентна введенной ранее (ср. эквивалент ные топологии, гл. V, раздел 2, п. 1).
Можно, наконец, взять в качестве $(0) множество откры-
*тых интервалов, имеющих своей серединой 0, скажем, открытых интервалов ] —1jn, 1/п[, где п пробегает N.
Пользуясь тем свойством, |
что |
для |
любого рационального |
а > 0 найдется такое целое п, |
что |
1/п < |
а, легко показать, что |
эта последняя топология эквивалентна принятой вначале. Поскольку Q счетно, то топология на Q определяется счет
ной базой открытых множеств. Стало быть, все предыдущие за мечания вытекают также из § 3 раздела 2, гл. V.
3. Топологические свойства. 1) Q есть отделимое простран ство. В самом деле, если х <= Q, x’ е Q и х Ф х', то мы полагаем г = \х' —■х \. Тогда
] X — г/2, X + г/2 [ е &{х), ]х' — г/2, х' -f- г/2 [ е $(х'),
иэти два интервала не пересекаются.
2)Замыкание открытого интервала ]а, Ь[ есть замкнутый ин тервал [а, Ь]. В самом деле, а и b являются точками прикоснове ния интервала ]а, Ь[, ибо любой открытый интервал, содержа щий а или Ь, имеет непустое пересечение с ]а, Ь[.
Сдругой стороны, если с ф [а, Ь], то существует открытый интервал, содержащий с и не пересекающий ]а, 6 [; значит, с не
будет точкой прикосновения для ]а, Ь[, чем и доказано, что за мыканием интервала ]а, Ь[ является интервал [а, Ь].
192 |
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА |
3) |
Q не является локально компактным, и тем более, ком |
пактным множеством. В самом деле, согласно определению, для того чтобы Q было локально компактно, необходимо и доста
точно, чтобы для |
любого x e Q |
существовало такое множество |
|
Х ^.38(х), что X |
компактно._Но в силу теоремы 2, § 3, раздел 4, |
||
гл. V, для того чтобы X было компактно, необходимо и |
|||
достаточно, чтобы всякий фильтр на X имел точку прикосно |
|||
вения. |
] а, b [— интервал, имеющий замыкание [а, Ь] и со |
||
Пусть X = |
|||
держащий 0, |
т. е. а <С 0 < Ь. |
Мы можем, например, построить |
|
последовательность (г„) попарно различных рациональных чи сел, квадраты которых имеют пределом 2, а сама последователь ность (г„) не имеет в Q точки прикосновения (ибо если бы (гп) имела в Q точку прикосновения, то существовала бы подпосле довательность (/• ) последовательности (гп), сходящаяся в Q
и квадраты которой сходились бы к 2).
Теперь достаточно выбрать такое достаточно большое р, чтобы гп/р е X при любом п, чем будет доказано, что последо вательность гп' — гп(р не имеет в X точки прикосновения.
4. Сходящиеся последовательности. Определение сходящейся последовательности уже давалось выше (гл. V, раздел 4, § 2,
п. 5).
Приведем те свойства сходящихся последовательностей, со стоящих из рациональных чисел, которые проистекают из свойств Q.
1) Для того чтобы последовательность (хп) рациональных чисел сходилась к рациональному числу Хо, необходимо и до
статочно, чтобы |
последовательность |
(хп — х0) сходилась к 0. |
|
2) |
Если (х„) |
сходится к х0, (|х „|) |
сходится к |х0|. |
3) |
Для того чтобы (х-п) сходилась |
к 0, необходимо и доста |
|
точно, |
чтобы ( I Хп I) сходилась к 0. |
|
|
4) |
Если (хп) |
сходится к х0, а (у п) сходится к у0, то (хп -f уп) |
|
СХОДИТСЯ К Хо + Уо-
5) Если (хп) сходится к хо, то двойная последовательность
( Хр — X q) Pl q СХОДИТСЯ К НуЛЮ.
5. Последовательности Коши. Последнее из перечисленных свойств приводит к определению последовательностей Коши.
Когда в Q рассматривается последовательность (хп) рацио нальных чисел, квадраты которых сходятся к 2, то оказывается, что эта последовательность не сходится в Q (чем доказывается, что Q не является локально компактным), но при этом оказы вается, что эта последовательность есть последовательность
Коши.
Следовательно; понятие последовательности Коши в действи тельности есть более общее понятие, чем сходящаяся последо
1. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ |
193 |
вательность, т. е. существуют последовательности Коши, кото рые не являются сходящимися (в Q).
Фундаментальное понятие последовательности Коши приво дит к построению действительных чисел, и это построение вос производится без иных изменений, кроме изменений формы, когда речь идет о пополнении метрического пространства.
Определение. Последовательность (х„) рациональных чисел
называется последовательностью Коши, если |
lim {хр — xg) — 0. |
|||
П р е д л о ж е н и е |
1. |
Любая |
сходящаяся |
р, q-± оо |
последовательность |
||||
есть последовательность Коши |
(см. выше). |
|
||
П р е д л о ж е н и е |
2. |
Любая подпоследовательность последо |
||
вательности Коши есть последовательность Коши. |
||||
Пр е д л о ж е н и е |
3. |
Если из последовательности Коши (хп) |
||
можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то после
довательность (Хп) сходится. |
(x„k) схо |
|
Можно предположить, что подпоследовательность |
||
дится к нулю (в силу п. 4,1)). |
|
середи |
Пусть / = ]—е, е[ — открытый интервал, имеющий |
||
ной 0. Так как (хп) есть последовательность Коши, |
то |
для р |
и q, превосходящих некоторое целое Р, имеем |
|
|
\Xp — xq (< е/2;
следовательно, имеем также \хр — хп^ \ < е/2, если р, щ ^ Р . Но (x„k) сходится к нулю, и поэтому I хп^ I < е/2 для всех пи,
превосходящих некоторое целое Р'. |
Если Р" — наибольшее из Р |
|||||||||||
и Р', |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ х |
р \ |
= = |
\ х р ~ |
Х Н + |
x n k \ < \ |
x p - ~ x |
n k \ + |
\ x |
n k \ < |
8/2 + |
е/2 = е |
|
для р ^ |
Р". |
|
|
Если |
(хп) |
и (уп) — последовательности |
||||||
П р ед л о ж е н и е 4. |
||||||||||||
Коши, |
то |
(х„ + I/п) — последовательность |
Коши и |
{—хп) — |
||||||||
также последовательность Коши. |
|
|
|
|
|
|||||||
Это следует из неравенства |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
I Хр -f- Ур |
Хд |
Уц \^ 1 Хр |
Xq 1-)“ ]у р |
у д [. |
|
||||
П р е д л о ж е н и е |
5. |
Если |
(хп) — последовательность Коши, |
|||||||||
то ( \хп I) — тоже последовательность Коши. |
|
|
||||||||||
Это следует из неравенства |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ла 1 I |
Хр |
|
|
|
|
|
П р е д л о ж е н и е |
6. Если (хп) |
есть последовательность Ко |
||||||||||
ши, а |
(уп) — такая последовательность, |
что (х„ — уп) |
стремится |
|||||||||
к нулю, |
то |
(уп) |
есть последовательность Коши. |
|
|
|||||||
7 М. Заманский