Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

то последовательность (\/хп), где п ^ п 0, есть последователь­ ность Коши. Кроме того, ясно, что если (x') ~ (х„), то, исклю­ чив по мере необходимости конечное число членов, получаем (l/je') ~ (1/х„). Тогда полагаем 1/g = g~‘ = сі (1/хп) и приходим к равенству

Умножение, индуцированное на Q умножением в R, есть ис­ ходное умножение.

Все предыдущие соглашения и результаты формулируются в виде следующей теоремы.

Те оре ма . R есть поле.

2. Свойства, относящиеся к порядку и к абсолютному зна­

]а, ß[eÄ (ti).

После того как топология определена, можно применять опре­ деления и результаты главы V. В частности, относя каждому g открытые интервалы, имеющие g своей серединой, получим экви­ валентную топологию.

Можно, следовательно, рассматривать сходящиеся последо­ вательности, сходящиеся двойные последовательности в топо­ логическом произведении R2= R X R, а значит, можно опреде­ лить последовательности Коши, пользуясь внутренним законом сложения.

Говорят, что последовательность ( |р) действительных чисел есть последовательность Коши в R, если двойная последователь­ ность (Ip — gg)p, g сходится к нулю в R.

Но точно так же, как для алгебраических законов и отноше­ ния порядка мы убеждались в том, что законы и отношения, вве­ денные на R, индуцируют на Q исходные законы и отношения,

200 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

так необходимо убедиться в том, что топология, введенная на R исходя из топологии на Q, индуцирует на Q исходную тополо­ гию; это необходимо, в частности, потому, что требуется знать, тождественны или нет понятия: «последовательности рациональ­ ных чисел, сходящейся к рациональному числу в топологии Q» и «последовательности рациональных чисел, сходящейся к ра­ циональному числу в топологии R», Но след на Q открытого интервала ]сс, ß[ из R, вообще говоря, не будет открытым интер­ валом в Q в первоначальном смысле, поскольку а и р могут не принадлежать Q.

Следы на Q открытых интервалов из R определяют на Q некоторую топологию (гл. V, раздел 2, § 2, п. 2). Чтобы дока­ зать, что эта топология эквивалентна топологии, определенной первоначально на Q, воспользуемся определением (гл. V, раз­ дел 2, § 2, п. 1): для того чтобы эти топологии были эквива­ лентны, необходимо и достаточно, чтобы след любого открытого интервала из R, содержащего j: g Q, содержал открытый ин­ тервал нз Q, содержащий х, и обратно.

Обратное верно потому, что открытый интервал }а, Ь[ из Q (содержащий х) представляет собой множество рациональных чисел, заключенных между а и Ь, и значит, является следом от­ крытого интервала ]а, Ь[ из R.

Чтобы доказать, что след интервала ]а, ß[ на Q содержит от­ крытый интервал ]а, Ь[ из Q, достаточно в силу свойства группы доказать, что для любого действительного а > 0 найдется такое рациональное а, что 0 < а ^ а. Но а есть класс последователь­ ности (Хп) рациональных чисел, для которой существует такое рациональное b > 0, что хп ^ b >• 0 для всех п, кроме, быть может, конечного числа.

В этом случае имеем

хп/2 > й/2 > 0

и

а — хп/2 = сі (хп — xJ2) — cl (х„/2).

Следовательно, а — хп/2 ^ 0 и а ^ & / 2 > 0 . Итак,

Топология, определяемая на R посредством открытых интер­ валов, индуцирует на Q топологию, эквивалентную топологии, принятой первоначально на Q.

Как уже говорилось выше, из этого свойства вытекает, что

202 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Вместо выражения «всякая последовательность Коши в R сходится» говорят: «R полно».

Теперь можем сформулировать теорему. Т е о р е м а 2. R полно.

Понятие полного пространства (мы к нему вернемся во время изучения метрических пространств) есть одно из фун­ даментальных понятий. Если известно, что пространство полно, то для того, чтобы узнать, является ли последовательность схо­ дящейся, не требуется выяснять, чему равен ее предел; доста­ точно выяснить, стремится ли к нулю 1Р—

2.Топологические свойства линейно упорядоченного поля R.

Вдальнейшем мы не будем различать в обозначениях рацио­ нальные числа и действительные.

Пользуясь определениями, относящимися к непрерывности, получаем сразу же следующие свойства, относящиеся к струк­ туре поля:

1)Отображение х —*—х множества R в R непрерывно.

определить общим образом топологическую группу, т. е. груп­ па (скажем, в аддитивной записи), наделенная топологией, удовлетворяющей условиям 1) и 2), называется топологической группой.

Свойства 1), 2), 3) являются свойствами, позволяющими определить топологическое кольцо.

Свойства 1), 2), 3), 4) позволяют определить топологическое

поле.

В случае последовательностей действительных чисел эти свойства соответствуют тому, что называют обычно «теоремами

бы Хо — е < хп '<. Хо + е < 0, что противоречит предположению, что хп ^ 0 при любом п.