Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 203

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

194 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Это следует из неравенства

I Ур

Uq I == I Ур

Хр

Хр

Xq

X q

tj q |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ур

Xp I “Ь I

Xp

Xq I

~Ь I Xq

Uq I-

 

П р е д л о ж е н и е

7. Если

(хп) — последовательность

Коши,

то существует такое рациональное М >■ 0, что \хп\

М при лю­

бом п.

 

 

Р и q ^

Р имеем \xv — xq\ <

е; сле­

 

В самом деле, для р ^

довательно, если

р ^ Р ,

то

\хр — Хр\ <

е,

откуда

\хр\ <

<

\хр\ + е. Тогда берем

 

 

 

 

 

 

 

 

М = sup (I

X, I, I х21,

... ,

1Xp-, I, I

Хр I + е).

 

 

 

Это свойство формулируют еще, говоря, что всякая после­

довательность Коши ограничена.

 

 

 

 

Коши,

 

П р е д л о ж е н и е

8. Если

(хп) — последовательность

не сходящаяся к нулю, то существует такое строго положитель­ ное рациональное число а, что для всех п, кроме, быть может, конечного числа, выполняется только одно из следующих двух неравенств:

 

 

 

 

 

хп < — а,

хп > а.

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что

\х„\ > а >

0 для всех п,

кроме конеч­

ного числа.

 

если

(хп) не стремится к нулю, то найдется

 

Действительно,

такое b > 0,

что

для бесконечного числа значений п выпол­

няется неравенство \хп \> Ь. Пусть

е = Ь/2; значит,

найдется та­

кое

П) ^

По.

что

|*Пі| > 2 е = &,

и

для

р ^ п0,

q ^ п0 имеем

\хр — XqI

<; b. Стало быть, для п ^

п\ имеем

 

 

 

т.

е.

 

 

 

К “

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хп1— ъ < х п < хп ,+ в‘

 

 

 

А

так как |

| > 2в,

то числа

хп^— е и хщ+

е либо оба по­

ложительны, либо оба отрицательны.

— е =

а > е,

получаем

 

 

Если

теперь хщ> 0,

то, положив х

д л я

/т >

/г0

 

 

х„ > а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

хп < О,

то положив хп 4-в =

— а, получаем

а > е, и

для

п > п0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хп < — а.

2. ПОСТРОЕНИЕ R

195

Р А З Д Е Л 2

ПОСТРОЕНИЕ R И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

§ 1. Определение/?. Пусть Г — множество последовательно­ стей Коши в Q. И пусть Ж— отношение между двумя последо­ вательностями Коши (хп) и (*') в Q, установленное следую­

щим образом:

Это отношение есть отношение эквивалентности. Если мы обозначим его (для упрощения записи) через ~ , то для любых

последовательностей Коши

(x'), (х") в Q будут иметь место

соотношения.-

 

1) (Хп) ~ (хп).

 

(раздел 1, § 3, п. 4,3)).

(раздел 1, § 3, п. 4,4)).

Определение. Множеством действительных чисел называется множество R — Т/Ж.

Множество R есть множество классов эквивалентности мно­ жества Г по mod Ж.

Теперь мы определим на R закон аддитивной группы, отно­ шение порядка, топологию, покажем, что Q изоморфно некото­ рому подмножеству из R и приведем основные свойства по­ строенного таким образом множества R.

О б о з н а ч е н и я . В этом разделе мы будем элементы из R обозначать греческими буквами. Так, | будет означать класс последовательности Коши (х„), g' — класс последовательности (х'п), ^ — класс последовательности (уп), и т. д. и мы будем пи­

сать I — сі (Хп) ■

Формальное отождествление множества Q с подмножеством из /?. Каждому рациональному х ставится в соответствие в R класс р, определяемый такой последовательностью Коши (хп), что хп ,= X при любом п.

Отображение х~*р множества Q во множество R есть взаим­ но однозначное отображение Q на некоторое подмножество из R (это есть множество, состоящее из р). Действительно, пусть

7*

196

ГЛ. VI. д е й с т в и т е л ьн ы е

чи сла

p =

cl(x), p '= cl(x/); равенство р = р'

влечет (х) ~ (х' ), т. е.

lim (я — x') — 0, и значит, x — x'.

Теперь проведем формальное отождествление Q с подмно­ жеством из R-, но затем надо показать, что определенное таким способом взаимно однозначное отображение является изомор­

физмом относительно законов

сложения,

умножения и т. д.

§ 2. Сложение, порядок и абсолютное значение на R

1. Сложение. Мы уже видели (раздел

1,

§ 3, п. 5), что если

(хп), ІУп) — последовательности Коши

в

Q, то (хп -f- уп) —

тоже последовательность Коши. Если (х'п) ~

(х(г), то [х'п + уj ~

-~(хга + г/п). Теперь

можно ввести следующие определения для

элементов £,

...

из R:

 

 

 

 

 

1 + I' =

сі (хп + х'п),

 

 

 

 

0 =

с1(0),

 

 

 

 

— І==с1(— Хп).

 

 

Легко видеть, что введенный таким образом на R внутренний закон есть закон абелевой группы и индуцирует на Q исходный закон сложения.

П р е д л о ж е н и е . Множество R есть абелева группа по сло­ жению.

2. Порядок. Очевидно, что существует тождественное совпа­ дение между последовательностями, эквивалентными (0), и последовательностями, сходящимися к 0. Пусть £ — элемент из R. Утверждение, что \ ф 0, равносильно утверждению, что | содержит только те последовательности Коши, которые не экви­

валентны нулю. Следовательно, по предложению 8

(раздел 1,

§ 3, п. 5)), найдется такое

рациональное число а >

0,

что для

всех п, кроме, быть может,

конечного числа,

либо хп >

а,

либо

Хп < —а, причем

имеет место только

одно

из этих двух

нера­

венств. Допустим,

например, что хп >

а >

0, кроме

конечного

числа значений п, и возьмем другую последовательность Коши

ІУп), принадлежащую |, и значит,

эквивалентную (хп). Так как

(уп)

не эквивалентна нулю, то найдется такое

рациональное

b >

0, что либо уп > Ь, либо уп <

—b для всех п,

кроме конеч­

ного числа.

что если х„ > а > 0, то уп > Ъ > 0. В самом

Утверждается,

деле, если бы для

всех

п, кроме

конечного числа, было хп >

> а > 0 и уп < — Ь <

0, то мы имели бы хп — уп > а + Ь, что

противоречит предположению (хп)

~

(Уп), т. е.

 

 

 

 

lim (хп — уп) =

0,

 

 

 

П->°о

 

 

 

2. ПОСТРОЕНИЕ R

197

Это замечание позволяет теперь сформулировать следующее

определение.

Определение. Будем говорить, что элемент g е R строго поло­ жителен и записывать g > 0, если в £ существует такая после­ довательность Коши (хп), что неравенства хп > а > 0, где а рационально, выполняются для всех п, кроме, быть может, ко­

нечного числа. Будем говорить, что элемент g e / ? положителен

и записывать g ^

0, если g > 0 или g = 0.

Заметим, что

для того, чтобы g было ^ 0 , достаточно, что­

бы g содержало последовательность Коши, все элементы кото­

рой ^

0, так как либо эта

последовательность (хп) не эквива­

лентна

нулю, и тогда g >

0,

либо

она эквивалентна нулю, и

тогда g = 0.

Обратно, если g ^

0, то g содержит последователь­

ность Коши

(хп), все члены которой 7^0; в самом деле, либо

I > 0,

и тогда свойство очевидно

(при исключении, в случае

необходимости, конечного числа членов в последовательности,

определяющей g), либо g = 0; если g =

0,

то g определяется

последовательностью

(хп),

сходящейся

к

нулю;

например,

Х п =

0 .

g > g' посредством неравенства g — g' >

Теперь определяем

> 0 ,

I ^ g' — посредством

неравенства

g — g' ^ 0,

g < 0 — не­

равенства —g > 0 и g ^ 0 — посредством —g 75 0.

Легко проверить, что тем самым введено отношение линей­ ного порядка на R и что это отношение согласуется со сложе­ нием.

Ясно, что это отношение порядка индуцирует на Q исходное отношение порядка и что между произвольными двумя различ­ ными действительными числами содержится рациональное чис­ ло (а значит, множество действительных чисел, лежащее строго между двумя действительными числами, непусто), и что R удов­

летворяет аксиоме Архимеда, т. е. каковы бы

ни

были g > 0,

g' > 0 ,

найдется такое целое п >

0 ,

что £' < п\.

 

 

 

/?,

3. Абсолютное значение. Определим абсолютное значение на

положив | | | =

sup(g, —g),

или

же, если {хп) — последова­

тельность

Коши,

определяющая

g,

положив

|g| =

cl(|xn|)

(ср. раздел

1, § 3, п. 5. Предложение 5).

 

 

 

 

Отметим, что если (хп) и (уп) —две последовательности

Коши в Q, то из неравенства

 

 

 

 

 

 

следует, что

11 %п I I У п I I ^

I Хп

У п I

 

 

 

 

 

I) ~

 

 

 

 

 

 

 

(Хп) ~ ( Уп)

* я

( ! К я !)•

 

 

 

 

Это

замечание

подтверждает,

следовательно,

определение

£

= cl( Iдг„I), так

как если заменить

(х„) на

(у„) ~

(хп), то

£

не изменится.

 

 

 

 

 

 

 

198

ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ. ЧИСЛА

Напомним хорошо известные свойства.

1)

Если g = X е Q, то введенное абсолютное значение эле­

мента X совпадает с абсолютным значением на Q.

2) Для любых действительных g, g' имеем

а)

|g | = 0 ^ g = 0,

б)

1 1 + I' K U l + U ' l ,

и из

б) вытекает, что

 

I U I - U ' I I < U ~ 1 4

§

3. Поле R

При определении топологии на R не используется умноже­ ние. Поэтому мы выделим определение умножения в отдельный параграф. В дальнейшем мы укажем топологические свойства множества R, связанные с существованием умножения.

1.

Умножение на R.

Если (хп), (уп) — последовательности

Коши в Q, то (хпуп) также есть последовательность Коши, так

как

 

 

 

 

 

I ХрУр

Xqtjq 1 —

 

 

 

 

 

= 1хр(Ур — у„) + у„ {хр — xq) |<

М (1 ур — у„\ +1 хр— xq 1)

в силу предложения 7

(раздел 1,

§ 3,

п. 5)).

С другой стороны,

если (хга) ~

(л/),

то

поскольку

(ХпУп) ~ (Х'пУп)’

 

 

 

 

 

\ХпУп ~ Х'пУп\<\ХП-

Хп\- М-

Теперь можно для g =

cl(xn),

| ' = с1(д:') положить

 

 

Г

= d (*„<)•

 

Тем самым на R введен второй внутренний закон — умноже­ ние, который ассоциативен и коммутативен.

Элемент из R, определяемый такой последовательностью Ко­ ши (хп), что хп = 1 для всех п, есть нейтральный элемент. Он обозначается также через 1.

Этот закон, как легко видеть, дистрибутивен относительно сложения.

Наконец, пусть g ф 0; если (хп) — последовательность Коши,

определяющая g,

то существует такое рациональное а > 0, что

для п ^ п0 имеем

|хп \ > а.

Так как

 

I 1/X 1/Xq( 1 Хр Xqj/| XpXqj | Xp - Xq[/

Смотрите также файлы