Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Вообще, нетрудно доказать, что

Множество положительных (3^0) действительных чисел зам­ кнуто (ср. следующий раздел).

Это понятие, которое вновь встретится нам, например, в груп­ пах Рисса или в нормированных пространствах Рисса (ср. Ин­ тегрирование), означает, интуитивно, что принятая топология не является независимой от порядка.

Р А З Д Е Л 3

ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ

Аддитивная группа действительных чисел, наделенная топо­ логией, определенной в разделе 2, называется числовой прямой.

называются замкнутыми интервалами. Замкнутый интервал ни­ когда не бывает пустым.

Замкнутые интервалы являются замкнутыми множествами, так как их дополнения открыты.

Интервалом называется множество действительных чисел, больших а, меньших а, заключенных между а и Ь, причем сами точки а и b могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству.

Подмножество А из R называется ограниченным, если оно содержится в ограниченном интервале. Если А ограничено, то найдутся такие а е R, b е R, что а ^ х і£Г ö для любого х е А; это сводится к тому, что найдется такое число с > 0, что ]л:| ^

^с для любого х е /1 ,

2.Базы топологии. База топологии состоит из открытых

<ß 6 . Тем самым доказано, что любой интервал ]а, Ь[, со­

держащий X, содержит некоторый интервал ]а, ß[, содержащий х.

Следовательно, открытые интервалы, концы которых при­

справедливо следующее предложение.

П р е д л о ж е н и е 1. Топология пространства R имеет счет­ ную базу.

Очевидно также следующее предложение.

Пр е д л о ж е н и е 2. Пространство R отделимо.

3.Открытые и замкнутые множества.

П р е д л о ж е н и е . Всякое открытое множество из R есть счетное объединение замкнутых множеств, а всякое замкнутое множество из R есть счетное пересечение открытых множеств.

ному какому-нибудь Оп, так как О открыто, и поэтому для лю­ бого X е О существует интервал ]х — 1/п, х + 1/п{, содержащий х

и содержащийся в О. Следовательно,

О с= U 0„ er U

Отсюда вытекает, что 0 = U Ön. А поскольку замыкание замк­ нуто и дополнение открытого множества замкнуто, то получаем

валы ]х — 1/п, X + 1/п[ убывают, то последовательность (хп) стремится к X.

П р е д л о ж е н и е . Для того чтобы точка х была точкой прикосновения непустого подмножества А из R, необходимо и до­ статочно, чтобы существовала последовательность точек из А, сходящихся к X.

К часто используемым принадлежит понятие точки на­ копления.

Это понятие (которое может быть введено в топологическом пространстве) выделяется при разделении точек прикосновения на две категории. Среди точек прикосновения подмножества А могут встретиться такие точки х, что некоторое открытое множе­ ство, содержащее х, содержит лишь одну точку множества А, т. е. саму точку х, из чего следует, что такая точка принадлежит

А. Она называется изолированной точкой.

Если X — точка прикосновения множества А, но не изолиро­

рется сначала какой-нибудь открытый интервал, содержащий

последовательность (х„), элементы которой принадлежат А, по­ парно различны и стремятся к х . Такая точка х называется точ­

числа элементов).

Итак, можно сформулировать определение.

Определение. Точка х называется точкой накопления под­ множества А из R, содержащего бесконечно много точек, если всякий открытый интервал, содержащий х, содержит точку из А, отличную от X.

Множество точек накопления множества А называется про­ изводным множеством множества А.

206 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Таким образом, замыкание множества А состоит из изолиро­ ванных точек множества А и его точек накопления.

Заметим, что если открытый интервал содержит точку нако­ пления множества А, то он содержит бесконечно много различ­ ных точек из А.

Различие, которое было проведено между точками прикосно­ вения подмножества А из R и которое приводит к понятию точки накопления, дает мало информации о поведении последователь­ ности. Пусть (хп)— числовая последовательность, т. е. функция

много различных точек, и если а — точка накопления множества x(N), то существует последовательность, состоящая из точек множества x(N) и сходящаяся к а; эта последовательность яв­ ляется подпоследовательностью последовательности (хп).

Но даже если x(N) представляет собой бесконечное множе­ ство точек, в нем могут существовать точки Ь, изолированные в указанном выше смысле и такие, что хп = Ь для бесконечного числа значений п. Такая точка, по терминологии, принятой в главе V (раздел 4, § 2, п. 5)), называется точкой прикосновения последовательности (x„).

Точки прикосновения последовательности (хп), т. е. отобра­ жения п —*хп, являются точками прикосновения в фильтре — об­ разе натурального фильтра при этом отображении. Фильтр — образ есть множество подмножеств множества A ~ x ( N ) , при­ чем каждое подмножество содержит точки множества А, исклю­ чая тех, которые соответствуют конечному числу индексов х„. Точка прикосновения а фильтра — образа является точкой при­ косновения любого подмножества, т. е. каждый открытый интер­ вал, содержащий а, имеет непустое пересечение с подмножест­ вом А', состоящим из точек (хп), индексы п которых принимают все натуральные значения, кроме конечного числа из них.

Таким образом, ясно, что любая точка прикосновения а по­ следовательности (хп) либо является точкой накопления множе­ ства x(N), либо представляет собой значение, принимаемое бес­

имеет единственную точку накопления — точку 1. Сформулируем следующее определение, которое будет затем

дано вновь при более общих условиях.

Определение. Верхним пределом (соответственно нижним) последовательности (хп) действительных чисел называется наи­ большее (соответственно наименьшее) значение точек прикосно­ вения, если таковое существует.