Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Можно также определить понятие liinx„ иначе, используя

тот факт, что lim есть верхняя грань множества точек прикос­ новения. Утверждение, что а есть точка прикосновения (под­ разумевается, по фильтру, состоящему из дополнений конечных подмножеств из N), означает, что любой открытый интервал, содержащий а, содержит точку множества хи, где k принимает все натуральные значения, кроме конечного числа (каково бы ни было это число). Если обозначить через А множество зна­ чений, принимаемых функцией п —*хп, то а будет точкой прикос­ новения множества А, и тогда а есть либо точка накопления, либо значение, принимаемое функцией бесконечно много раз.

§ 2. Числовые функции на счетном множестве. Бесконечные суммы. Ряды

В этом параграфе изучаются бесконечные суммы действи­ тельных чисел и ряды (для которых мы только напомним основ­ ные свойства). Некоторые результаты распространяются на слу­ чаи более общие (например, семейство элементов абелевой группы, наделенное соответствующей топологией).

Можно представить вопрос следующим образом. Рассматри­ вается счетное множество Е действительных чисел. Такое мно­ жество определяется тем, что можно хотя бы одним способом установить взаимно однозначное соответствие между Е и мно­ жеством N натуральных чисел. Если мы хотим теперь разли­ чать элементы из Е, то мы наделяем их индексами, которые яв­ ляются элементами из N. Однако, как показывают элементар­ ные примеры, это различение посредством индексов может про­ изводиться различными путями. Можно, следовательно, взять также счетное множество / (отличное от N) и использовать его в качестве множества индексов для элементов множества Е.

Если сделан выбор одного биективного отображения мно­ жества N в Е, то тем самым определена последовательность, т. е. функция переменного из N со значениями в Е. Обозначив через (Xk) эту последовательность, можно попытаться придать смысл бесконечной сумме членов х этой последовательности, прибав­ ляя друг к другу xh в порядке возрастания индексов; таким образом, получаются выражения

S| = Х\, S2 :===Х[ ”1“ Х2 , • »• , Sn Х\ “Е *. . "Е хп,

и если последовательность (sn) имеет предел в R, то этот пре­ дел может рассматриваться как сумма элементов (х„).

Но уже на элементарных примерах видно, что если рассмат­ ривается -другая последовательность, определенная другим би­

семейство (а,-) суммируемо, то сумма а получится, если распо­ ложить индексы / в произвольно выбранном порядке, т. е. рас­ смотреть отображение н-*г„ множества N на / и найти предел по натуральному фильтру множества N для суммы

П

sti— 2 щк. ft=i ®

Вообще, если заменить / множеством индексов Г, с которым имеется взаимно однозначное соответствие, то семейство мно­ жеств (Хі), наделенных индексами і ' е /', снова суммируемо и

пологии, и поэтому можно в определении суммируемого семей­ ства заменить выражение «любое открытое множество X, содер­ жащее 0», выражением «любое открытое множество счетного семейства открытых множеств, содержащих 0», скажем Хп =

=]—1/и, !/«(•

Но если (а;) суммируемо, то согласно предложению I, най­

дется конечное число таких индексов і, что а і ф Х Л\ обозначим это множество через /„; оно составляет часть множества /. Мно­ жество тех г, для которых а,- ф 0, является объединением мно­ жеств Іп (каждое из которых содержит лишь конечное число элементов) и, значит, счетно.

Этот результат (справедливый для случая, когда имеется счетная база топологии) объясняет, почему практически можно предполагать I счетным.

Следующие предложения 3 и 4 очевидны в силу опреде- *лений.