Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 213

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4. Ч И С Л О В Ы Е Ф У Н К Ц И И

221

2. Оболочки семейства числовых функций или функций со

значениями в R.

Определение. Пусть (f,) — семейство функций со значениями в R, определенных на Е и снабженных индексом і, принадлежа­ щим некоторому множеству I. Верхней (соответственно нижней) оболочкой семейства ft называется функция со значениями в R, определенная на Е посредством

X -> sup fi {х)

(.v-> in ! fi(x)).

le=I

i<=I

Эта верхняя

(соответственно нижняя) оболочка обозначается

sup ft, ИЛИ

sup ft, ИЛИ SUp ff

(in f fl, inf fl, inf f i ) .

i&I

t

I

Если через & обозначено множество всех функций со значе­ ниями в R, определенных на Е, то это множество упорядочено отношением f ^ g f(x) ^ g (х) при любом х. Рассмотрим в & подмножество А, состоящее из элементов семейства (fi) (ср. гл. I, раздел 4); пусть g есть верхняя грань этого семейства. Так как f, g при любом і, то g является мажорантой множе­ ства А. Если существует такая функция g' е <£, что f< ^ g' ^ g при любом і, т. е. если существует мажоранта множества А, меньшая, чем g, и если g' не совпадает с g, то по крайней мере для одной точки имеем g'(x) < g(x) . Но так как g(x) — верхняя грань чисел f,(x), то имеется по крайней мере один та­ кой индекс і0, что g ' ( x ) <f t 0 ( x ) ^ g ( x ) . Отсюда следует, что g' = g, или, иными словами, что g есть наименьшая мажоранта множества А в Е, т. е. ее верхняя грань. Итак, верхняя обо­ лочка семейства (/,•) есть верхняя грань в & множества эле­ ментов ft.

Понятия, излагаемые в этом параграфе, иллюстрируются в дальнейших главах и разделах (непрерывные функции, интегри­ рование и т. д.).

3. Верхний предел, нижний предел.

Определение. Пусть f — функция со значениями в R, опреде­ ленная на множестве Е, и пусть 5Г — фильтр на Е\ через А обо­ значается произвольный элемент фильтра 6Г. Верхним пределом функции f по фильтру $Г называется конечное или бесконечное

число inf (sup f(A)),

а нижним пределом — конечное или беско-

А

____

печное число sup (inf / (Л )). Записывают lim sup или lim и lim inf

А

или lim :

lim f = inf (sup f(A)), lim f = sup (inf f (Л )),

222 ГЛ. V]. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Это понятие, как мы увидим, обобщает понятие предела, и когда речь идет о топологическом пространстве Е, оно связано с понятием полунепрерывной функции.

Перечислим основные свойства, первое из которых очевидно.

П р е д л о ж е н и е

1.

Справедливы соотношения lim f^lim f,

 

__

 

 

 

I T

v

lim f =

— lim(— f).

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

2.

Для того чтобы существовал

limf, не-

обходимо и достаточно,

чтобы

 

 

âf

 

 

 

 

 

 

lim f =

lim f.

 

 

 

 

 

!X~

if'

 

 

Допустим сначала, что lim f

существует,

и пусть

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

a =

limf.

 

 

Напомним, что это означает, что а является пределом в R

фильтра, состоящего из множеств [(Л), где

т. е. что лю­

бой открытый интервал X, содержащий а, содержит некоторое

f(/l)

(открытым интервалом, содержащим а,

будет либо ]а, ß[,

а е R, ß s R, если а е

R, либо [— оо, а[ или ]а, +°о], а е й , если

а бесконечно).

 

 

 

 

 

Следовательно, /(Л)сгХ, и значит,

. inf f (Л)

sup f (Л) е X.

Но каково бы ни было Л е ? " ,

 

inf / (Л) < sup (inf f (Л)),

inf (sup f (A)) < sup f (Л),

AA

атак как для любого Л

inf f(A) < sup f(A),

то

inf f (Л) < sup inf (/ (A)) < inf (sup f (A)) < sup / (Л),

A

A

ИЛИ

____

inf / (Л ) < lim f < limf < sup f (Л).

&<sr

Поскольку іп{/(Л)е=Х и sup |(Л )е 1, to ,

l i m/ eX, l i m/ s X.

~W

Стало бьп>, з.амыкание любого открытого интервала, содер­ жащего а, содержит lim и lim; а так как на ^всякий открытый

4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

223

интервал, содержащий точку, содержит и замкнутый интервал, содержащий эту точку, то отсюда следует, что

limf = Hmf = lim f.

' 0Г

&

Обратно, предположим, что

 

lim f =

lim f,

и пусть а есть их общее значение. Покажем, что любой открытый

интервал

(или его замыкание), содержащий а, содержит ҢА).

Предположим сначала, что а конечно;

для любого е > 0 су­

ществует

такое ^ 4 e f ,

что а ^ inf f (Л) <

a -f е

(по определе­

нию inf)

и такое А '^.З

Г , что а — е < sup/(Л')

а (по опреде­

лению sup). Так как 5F есть фильтр, то А П А' содержит некото­ рое А" е $Г, а как как А" с А и А" сzA', то

inf f (A') < inf f(A") < sup f (A") < sup f (A),

что дает

a — e < inf f(A") < su p / (A") < a + e;

значит, существует такое А", что

f {A") c= ] a — e, а -f e[.

Если, например, а = +

°°> то

inf (sup/(Л)) =

+ о о ф -j- oo ^ s u p /(Л),

A

 

следовательно, sup/(Л) =-|-oo, каково бы ни было А;

sup(inf/(/4)) = -J-oo

означает,

что для любого а е / ?

найдется

такое А, что а < inf / (А) ^ +

оо. Значит,

 

А

 

 

 

а <

inf f (А) <

sup f(A) = + оо,

 

и стало быть, ]а, + оо] содержит /(Л).

 

П р е д л о ж е н и е

3. Верхний предел функции f по фильтру

равен верхней грани точек прикосновения функции /.

функции

Напомним, что уо является точкой прикосновения

{ (по фильтру &~), если каждая окрестность точки у0 пересекает каждый элемент f(A).

Если уо — точка

прикосновения, то г/0е /( Л ) при любом Л.

Следовательно, для

любого Л выполняется неравенство уй^

^ sup f(A), и значит,

Уо< inf (sup / (Л)) = firn /.

А

0 -

Стало быть, верхняя грань множества точек уй будет < И т / .

0Г

224

ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

 

 

 

Пусть теперь X — открытый интервал, содержащий

 

 

 

 

 

lim/;

 

 

 

 

 

 

 

 

of

 

 

 

 

 

 

существует такое Л, что эи р /(Л )е Х

Следовательно,

X пересе­

кается с /(Л ).

Но если

А' — произвольный элемент

из

то

А' П А содержит некоторое А" е

а так как А" а А, то

 

 

lim / ^

sup / (А") ^ sup / (Л);

 

 

 

 

ar

 

 

 

 

 

 

 

 

и значит, sup / (Л77) 6= X. Таким образом, X пересекает /(Л").

 

Но A 'tdA", и поэтому f(A")

есть подмножество множества

/(Л '), а значит, X пересекает /(Л '). Поскольку всякий открытый

интервал X, содержащий

 

И т/, пересекает любой элемент филь-

тра, состоящего из /(Л),

 

аГ

означает,

что

__

есть точка

 

то это

lim/

 

 

 

 

__

 

СУ*"”

 

 

прикосновения функции /;

а так как lim /

больше любого значе­

ния уо, то это влечет, что

lim/

есть

верхняя

грань

множества

точек прикосновения.

 

of

 

 

 

 

 

 

и примеры.

1) Если Е — топологиче­

Ч а с т н ы е

с л у ч а и

ское пространство, а (F — фильтр, образованный окрестностями

точки дго, то пишут lim f(x) или

lim /(х) вместо Н т/. Так как

JC-»Хг,

х=ха

любая окрестность Л точки Хо содержит х0>то

inf/( Л ) < /(*„)< sup/(Л)

при любом Л, и значит,

lim f ( x ) ^ f (Хо) ^ Um / (х).

Х = Х „ Х = Х і

Непрерывность в точке х0 эквивалентна тому, что

lim /(х)— lim /(х).

х=х0

ха=х°

Разность

___

со (xq) =

lim / (х) —• Hm / (х),

 

X—Xq

когда она имеет смысл, называется колебанием функции / в точ­

ке Хо.

Три числа

lim / (х), /(хо),

lim / (х)

4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИЙ

225

могут быть попарно различны. Так, для функции, определенной на R как f(x) — —1, если х < 0, /(0) = 0 и f(x) = 1, если х > 0,

имеем в точке Хо = 0:

 

lim f(x)= — 1,

lim f (л:) = 1,

/(0) =

0.

 

 

1= 5

* = °

 

 

 

 

2)

Пусть

E = N — множество

натуральных

чисел,

/ — чис­

ловая

последовательность

(хп), 5Г — фильтр, состоящий из до-

полнений конечных подмножеств. Вместо

1ітхп

пишут

Пт х„

 

 

 

 

 

 

 

П-+оо

или lim хп.

 

 

 

 

 

 

t t= o o

__

 

 

 

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

lim хп = inf (sup xk).

 

 

 

 

 

оо

п

k^tl

 

 

 

Если а = lim хп конечно, то для любого е > 0 найдется

П~> со

такое целое п, что

а < sup xk < а + е, *>га

и значит, для любого п имеем хь < а -f е. Но, по определе­ нию sup, для любого е > 0 существует такое хи с к ^ п, что

 

а — е < xk ^

sup xk;

зафиксируем

и возьмем такое k\

^

пи что

 

а — е < xkl <

sup

 

 

k^tli

затем для n 2 >

k\ возьмем такое

k2 ^ п 2 , что а — е < Xk„

и т. д....... Получаем, следовательно, бесконечно много таких

значений k, что а —- е <

Xk.

Таким образом, для

последовательности (хп) число

 

а = lim

 

П->оо

обладает тем свойством, что каково бы ни было е > 0, начиная

с некоторого номера все х п

будут <

а +

е, и для бесконечного

числа значений

k будет иметь место xh >

а — е. Точно так же

формулируется

определение

lim хп,

и это определение легко

Л -> о о

переносится на случай, когда lim, lim не являются конечными. Если речь идет о числовой последовательности, то иногда в качестве определения lim берется предыдущая формулировка.

8 М. Заманский

Смотрите также файлы