Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 217

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

230 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Возьмем теперь конечные подмножества <р£,

содержащие <р^

и / х П фо (которые составляют конечное число

конечны* под­

множеств из /); тогда тем более

 

 

 

2

, «/

<

e /2 <7.

 

Пусть, наконец,

 

Я

 

 

 

 

 

 

/ = (J

Фх=

U

ФА.**

 

Леф

 

&=І

 

Поскольку речь идет о конечных подмножествах, то можно за­ писать:

Но

 

 

 

іе/

 

 

/г=1 (ефл «,Ѵ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Щ— Sx

 

< е/2<7;

 

 

 

 

 

 

! е ф.

 

 

 

Г*-к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

а , — 2

 

s u

 

<е/2.

 

 

 

 

 

 

і<=1

 

 

k=\

 

 

 

 

 

 

Но

так как ф^ содержит

/*Пфо и

так

как

объединение

множеств

/ \ П ф о

составляет

ф 0

в силу

того,

что

/х образуют

разбиение множества /, то J, являющееся объединением мно­

жеств

 

, содержит фо,

 

и следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 а,- — а

<е/2.

 

 

 

Окончательно имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S s i i - e

 

< 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£=І

 

Е

 

 

 

 

 

 

 

Итак, каждому е > 0 можно поставить в соответствие ко­

нечное подмножество ф0 =

(Х.ь Хг, ..., Хр) множества чисел X, и

для любого

конечного

множества

 

г|з = (Хь ..., Хр,

.... ^?)дэгро

выполняется

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5X

 

а

 

< е,

 

 

 

которое показывает, что семейство (s*,) суммируемо и его сум­ ма равна 2 аі'

4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

231

Теперь может быть получена следующая формула: если / — множество индексов, (4)*,е л — некоторое разбиение множе­ ства I и если семейство (аі)ш1 суммируемо, то

Сейчас мы рассмотрим это на примере рядов, называемых двойными. Мы отдельно рассмотрим этот важный для дальней­ шего частный случай, при изложении которого мы ограничимся

множеством / =

MX N.

 

Элемент і е

/ есть упорядоченная пара (р, q) двух натураль­

ных чисел. Разбиение множества / на подмножества

/% полу­

чится, если взять Д = N, Л = N. Если семейство (а,)

сумми­

руемо, то подставляя xp,q вместо і, получаем

 

Этот факт выражается словами, что если семейство (хР, ,7) суммируемо, то его сумма получается либо предварительным суммированием элементов по строкам, либо предварительным

суммированием по столбцам.

 

1% обозначается

Другое

разбиение состоит в том, что через

множество

тех (p,q),

у которых р -f- q =

А,,

где К — 2, 3, .t.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

q

Яр, 7 =

2

 

(*!, к + х2, k-i + •••

+**.,])•

 

р,

 

йеЛГ

 

 

 

З а м е ч а н и я . Все изложенные выше предложения справед­ ливы и для весьма общих случаев; в частности, они верны, когда речь идет об элементах действительного нормированного

пространства (см.

ниже). Напротив, свойства, приведенные

ниже, используют отношение порядка на R.

(а*) действительных

П р е д л о ж е н и е

6. 1) Если семейство

чисел суммируемо, то множество конечных сумм элементов се­ мейства ограничено в R.

2) Если числа а< положительны, то предыдущее условие не­ обходимо и достаточно, чтобы семейство (а,•) было суммируемо.

В самом деле, пусть ( а — некоторое суммируемое се­ мейство и а — его сумма. Тогда для любого е > 0 найдется такое конечное подмножество фо, что, каково бы ни было ко­

нечное

подмножество ф го фо, имеем

|яф— а \ < г , и, значит,

Іа<р| ^

| а | + е. Если ф' — произвольное

конечное подмножество

множества /, то поскольку ф" — ф' U фо

фо, имеем

I Лф'УФаІ ^ I о, I -f- в.

Но

а Ф'УФо — а Ѵ ~Ь а Фо-ф'>

232 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

и если р означает число элементов

множества <р0. а т — наи­

большее из тех

|хі|, для которых г <= ср0, то

I

К І яУиФ» | + р т < |

а \ + pm -f е.

Следовательно, если семейство (а,-) суммируемо, то для лю­

бого конечного подмножества

<р'

из /

множество |

|

мажо­

рировано числом

I а I + pm + e.

О и

что

аф мажорировано,

Предположим

теперь, что

аг- ^

каково бы ни было конечное

подмножество ф из I. Тогда

 

а — SUpöqjS/?.

 

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

 

 

Согласно определению верхней грани, для

любого

в >

О най­

дется такое аѴа,

т. е. конечная сумма, а значит, и такое конеч­

ное подмножество ф0 «s /, что

 

 

 

 

 

 

 

а — 8 < яФо ^ а.

 

 

 

 

Так как щ ^ 0,

то для любого конечного подмножества

ф гэ ф0

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

«Фо

 

 

 

 

 

 

и следовательно,

а — аф С е,

чем доказано,

что семейство (а,)

суммируемо и его сумма равна верхней грани конечных сумм.

П р е д л о ж е н и е 7. Пусть (оц), (ßi)— два семейства поло­ жительных действительных чисел, наделенных индексами из

одного и того же множества 1 и таких, что а* ^

ß, при любом. L

Если семейство (ßi) суммируемо, то семейство

(а,) тоже сум­

мируемо и 2

аі ^

2

ßi-

любого конечного подмножества ф е /

Действительно,

для

условие а г-

ßi влечет

 

 

 

 

 

2

^-ф^ ^ф 2 ßt•

 

 

 

І^Ф

іеф

 

А поскольку аг ^

0

и ßi ^ 0, то достаточно обратиться к пред­

ложению 6.

 

 

8.

Для того чтобы семейство (сц) действи­

П р е д л о ж е н и е

тельных чисел было суммируемо, необходимо и достаточно, чтобы было суммируемо семейство (| аі|).

В самом деле, если (а{) суммируемо, то найдется такое по­ ложительное М, что для любого конечного подмножества фе=1 имеем

2щ < м .

іе ф

(предложение 6,

1)). Рассмотрим, при любом і, положительные

и отрицательные

части х+, x j для хр, имеем | х( | = x f + x j.

4, Ч И С Л О В Ы Е Ф У Н К Ц И И

233

Тогда

2 х+ < м , 2 x j < м,

і е ф і ^ <р

ибо семейства (х+) и (хг) отличаются от подсемейств семей­

ства (х{)

лишь на

множество

нулей. В

силу предложения 4

 

 

2 I Х{ I =

2 Х + + 2 X - < 2 М

 

 

для любого конечногоі і=ф

подмножестваі е ф I е фф множества I,

 

Обратно,

если

для

любого

Ф выполняется

неравенство

2 | * г |< Л Т,

то в силу неравенств x^ ^ | х{ | и x j ^

| х; |, с одной

стороны,

суммируемо

семейство

(| хД)

(предложение

6, 2)),

И с другой стороны,

суммируемы

семейства (х+)

и (хг~)

(пред­

ложение

7),

и стало

быть,

семейство

(хг) — (х + — xj")

тоже

суммируемо (предложение 4).

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

9.

Для того чтобы семейство (а*) действи­

тельных чисел было суммируемо, необходимо и достаточно, чтобы множество конечных сумм было ограничено.

Необходимость вытекает из предложения 6,1). Обратно, если для любого ф

а ф =

S “ і

( 5 ф

ограничено, то конечные суммы

семейств (о+) и (аг- ) мажори­

рованы, а значит, то же самое будет иметь место и для семей­ ства ( I оьі I), откуда в силу предложения 8 следует, что семей­ ство (а,-) суммируемо.

П р и м е р ы и з а м е ч а н и я . 1) Примером, хорошо иллю­ стрирующим формулируемые выше свойства, может служить пример рядов, называемых двойными. Рассмотрим, например, семейство (ap, g) с индексами из множества N ^ N , определен­ ное равенствами aPl q = атЬч, где

0 < а < 1 , 0 < 6 < 1 .

Простое вычисление суммы членов геометрической прогрессии

показывает, что множество

!= р

і= ц

2 аі, I

i= 0

t=0

мажорировано числом 1/(1— a ) ( l — b). Следовательно, семей­ ство суммируемо; можно, в частности, написать:

2 с ‘V = 2 (2»’) «'= (Б а ') (2 6«).

р, q

Р \ Я

/

\ Р

/ \ Я

}

234

ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

2)

Понятие суммируемого семейства применимо, очевидно,

и к тому случаю, когда задается последовательность действительных чисел. Если это семейство суммируемо, то, в

частности, 2 ак имеет предел по фильтру сечений, который k^.n

здесь эквивалентен натуральному фильтру.

В этом случае говорят, что последовательность суммируема. Но всякая последовательность, полученная перестановкой ин­ дексов, тоже суммируема (равно как и последовательность

( К І ) ) - 3) Из приводимых выше предложений путем формулирова­

ния их логических отрицаний получаются необходимые, доста­ точные или необходимые и достаточные условия для того, чтобы семейство (ос,) не было суммируемо.

Например, если (с^) не стремится к нулю по натуральному фильтру на /, то семейство (а,-) не суммируемо.

Если множество конечных сумм не ограничено, то семейство не суммируемо; это условие эквивалентно существованию се­ мейства конечных подмножеств, именно, последовательности (фп), обладающей тем свойством, что |а фп| стремятся к беско­

нечности по натуральному фильтру, т. е.

lim ІофJ = + со, n-»°°

в соответствии с тем смыслом, который придается этому обо­ значению.

4) В случае семейства (хР: д), наделенного индексами из N X.N, понятие суммируемого семейства заменяет понятие «абсолютно сходящейся таблицы с двойным входом». Это на­ звание станет ясным при изложении понятия и свойств абсо­ лютно сходящихся рядов (см. ниже).

2.Ряды. Предположим, что задана последовательность (ос&)

действительных чисел, т.

е. задано отображение множества N

в Я. И пусть

П

 

 

 

 

а,п= 2

 

 

■

 

откуда выводим, что а„ =

ап — ап_ь если

2, «і = ах. Сле­

довательно, если рассмотреть множество & всех последова­ тельностей действительных чисел, т. е. множество всех функ­ ций переменного, принадлежащего множеству N, и принимаю­ щих значения во множестве R, а функции п —*ап поставить в соответствие функцию п —*ап, то тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие множества & на себя.

Смотрите также файлы