Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 214
Скачиваний: 0
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ |
217 |
Р А З Д Е Л 4
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ИА МНОЖЕСТВЕ
§ 1. Грани, оболочки, верхние и нижние пределы
Этот параграф содержит некоторые свойства числовых функ ций одного переменного, при условии, что это переменное при надлежит множеству Е, которое может и не быть топологиче ским пространством. Помимо нескольких общих соображений здесь рассматриваются понятия верхней и нижней оболочек се мейства числовых функций, а также свойства суммируемых се мейств и рядов, которые выступают как числовые функции нату рального переменного.
Некоторые свойства справедливы для функций со значениями в R. Мы оставляем название числовых функций за функциями со значениями в R и иногда, для большей точности, будем го ворить о функциях со значениями в R или о функциях со зна чениями в R. Напомним также, что вместо выражения «а при
надлежит |
R» |
употребляется |
выражение «а конечно», или |
«— оо < а < |
+ |
оо»; говорят, что |
функция конечна, вместо того, |
чтобы говорить, что «функция принимает значения в R». Свойства, которые будут сейчас изложены, являются след
ствием свойств множеств R и R: порядок, закон абелевой группы, закон поля, топологические свойства. Напомним соглашения,
касающиеся расширения на функции законов |
и отношений |
(гл. II, раздел 5). Так, если f, g — числовые функции, опреде |
|
ленные на одном и том же множестве Е, то f ^ |
g означает, что |
для любого і ; е £ справедливо неравенство f(x) |
^ g ( x ) (согла |
шение действительно для случая, когда f, g имеют значения в R), f-\-g есть отображение множества Е в R, определяемое соответ ствием X —*f (х) + g(x) (соглашение действительно, если f, g принимают значения в R при условии, что f(x)-\-g(x) имеет смысл при любом х), и т. д.
1. Грани функции со значениями в R. Определения. Пусть / —
функция, определенная на множестве Е и принимающая значе ния в R, и А —непустое подмножество из Е.
1) Верхней (соответственно нижней) гранью функции f на А называется верхняя (соответственно нижняя) грань в R множе ства f{A).
2) Говорят, что функция f мажорирована (соответственно минорирована) на А, если верхняя (соответственно нижняя) грань функции f на А будет < -f - o o (соответственно > —оо). Вместо мажорированной и минорированной функции говорят также о функции, ограниченной сверху или снизу.
3) Говорят, что функция f ограничена на А, если она одно временно мажорирована и минорирована.
218 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Верхняя грань функции f на А обозначается
sup f(x);
х е А
нижняя грань обозначается
inf f(x).
х е А
Эти элементы принадлежат R. Они могут и не быть значе ниями функции /. Числовая функция может не быть ограничен ной; это замечание формулируется более наглядно: функция, ко нечная в каждой точке, может не быть мажорированной или ми-
норированной (пример: |
отображение f множества R в R, опре |
|||
деляемое как f(x) = |
\jx, |
если х ф 0, |
и / ( 0 ) = 0 ) . |
|
Очевидно, что |
|
|
sup (- fix)). |
|
inf f(x) = |
||||
х е А |
|
х е Л |
|
|
Это служит объяснением тому, что достаточно изложить свой |
||||
ства, например, верхних граней. |
|
зависит от Л и от функции |
||
З а м е ч а н и я . 1) |
Число supf (х) |
|||
|
|
х е А |
|
|
f, но не зависит от переменного х, хотя буква х фигурирует два жды в записи этого числа.
2) Когда в процессе изложения участвует единственное под
множество Л, то вместо sup f{x) пишут |
supf(x) или |
sup f{x). |
|||
|
|
х е А |
|
X |
А |
3) Мажорированная функция на Л такова, что |
|
||||
|
|
sup f i x)< + °°. |
|
|
|
|
|
х е А |
|
|
|
Следовательно, возможно, что |
|
|
|||
|
|
sup f ( x ) ~ — оо. |
|
|
|
Но так как по |
определению для любого х |
|
|
||
|
х е Л |
|
|
|
|
|
|
fix)-- |
sup fix), |
|
|
то если |
|
|
х е А |
|
|
|
sup f (де) == |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
х е А |
|
|
|
то f(x) = —оо для любого X <= Л. |
ниже свойства будут |
||||
Св о йс т в а . |
Некоторые |
приводимые |
|||
изложены без доказательства, так как они немедленно вытекают из определений. С другой стороны, будучи изложены относитель но множества Е, они переформулируются для непустого мно жества Л из Е, когда рассматривается сужение функций на Л.
1) |
Для того чтобы а = sup fix), необходимо и достаточно, |
> |
х е Е |
чтобы f ( x ) ^ . a при любом х е Е и чтобы при любом а < а су-
|
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ |
219 |
|
Ществовало также |
значение функции |
f, а значит, и х е £ , |
что |
а < f ( x ) ss: а. Это |
характеристическое |
свойство часто входит в, |
|
доказательства.
2)Для того чтобы функция / была мажорирована на Д, необ ходимо и достаточно, чтобы существовало такое конечное число а, что f ( x ) ^ . a при любом j: e £.
3)Функция /+ минорирована на Е, f~ мажорирована на Д; для того чтобы f была ограничена на Д, необходимо и доста точно, чтобы |f| была мажорирована на Е.
4)Какова бы ни была функция /, определенная на £ и при
нимающая значения в R, всегда
inf f (x)s£C sup f (х).
xe=E |
х е E |
5) Если f и g — функции на E со значениями в R и если f < g, то
sup |
SUpg (х), inf |
inf g(x). |
i e £ |
j c e £ |
j e £ |
6) Если Л — непустое подмножество из Е, то supf(x)< sup/О), inf f ( x) < inf /(x).
7) Если
i ен/
есть объединение семейства непустых подмножеств, множество индексов которых есть /, то для любой функции со значениями в R, определенной на Е, имеем
sup f (х) — sup ( sup f (x)),
x e E |
i e l |
|
что записывается также |
|
|
sup f (x) = |
sup (sup / (x)). |
|
илг |
/ |
At |
В самом деле, пусть a = sup/(x) и а < а. И пусть
таково, что а < |
Е |
Точка £ принадлежит хотя бы одному Ait |
|
скажем, Л;0; имеем |
/(l)< su p /(x ). |
|
|
|
Ah |
Но так как Аі er Е, то в силу 6) имеем
sup / (х) < sup f (х) = а.
А { |
Е |
Следовательно, |
sup / (х) ^ а. |
а < |
220 |
ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА |
Если теперь рассмотреть отображение cp множества / в R, определяемое соотношением
tp(0 = sup f(x), Ai
то последние неравенства означают, что для любого i е I имеет место ср (і)^ а и что для любого а < а существует такое іое /, что а < ср(і'о) ^ а. Согласно 1) это влечет равенства
|
а = sup ср (г) = sup (sup f (л:)), |
||
|
г |
і |
лг |
8 ) |
Е с л и f и £ — числовые |
функции (со значениями в R), |
|
определенные на множестве Е, то |
|
|
|
|
sup(f(x)-f g(x))< sup/(x)-fsupg(x). |
||
|
*еВ |
te£ |
|
Заметим, что если f и g — числовые функции (т. е. с ко нечными значениями), то не могут выполняться равенства
supf(x) = + |
°°> |
sup g(x) = — °о, |
ибо тогда было бы g(x) = |
— оо |
для любого х\ следовательно, |
сумма |
|
|
sup f (х) -f“ sup g (x)
имеет смысл.
Неравенство верно и для случая, когда f a g принимают зна чения в R, но мы не будем этим пользоваться.
9) Если f и g — числовые функции (со значениями в R), опре деленные на множестве Е, и если f ^ 0, g ^ 0, то
|
|
sup (/ (х) g (х)) < |
sup f (х) • sup g (х). |
|
|
|
|
х<^Е |
|
*s£ |
|
10) |
Если f — числовая функция (со значениями в R), |
f ^ 0, |
|||
и если |
g(x) — l/f(x), |
когда |
Ңх ) Ф 0, a £(*) = + «>, |
когда |
|
f(x) = |
0, |
то |
|
|
|
|
|
sup g (х) — 1/ inf f{x). |
|
||
|
|
j |
|
xg£ |
|
11) |
Если в 8) и 9) |
взять в качестве g конечную постоянную |
|||
функцию а, то получим |
|
|
|||
sup (f (х) + а) = а -f sup / (х), |
каково бы ни было а е R; |
||||
х<=Е |
|
хі=Е |
|
|
|
sup(a/(x)) = asupf(x), каково бы ни было а > 0 в R.