Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

ментам п и п' ставит в соответствие элемент, представимый в виде пп' или (nn').

Поскольку мы хотим дать различные определения и свойства, справедливые для различных законов, а в то же время пользо­ ваться будем лишь небольшим числом законов, то, с одной сто­ роны, мы отказываемся от обозначения f{x,y) для внутреннего закона как отображения Е X Е в Е в пользу более употребитель­ ных, а с другой стороны, чтобы определения могли быть приме­ нимы к уже известным законам с установившимся обозначением, мы будем пользоваться некоторым символом, который будет

§ 2. Ассоциативность

Так как мы рассматриваем только те законы, которые опреде­ лены всюду, то мы можем, взяв композицию элемента х на у, со­ ставить композицию полученного элемента х Т у на некоторый другой элемент г е Е .

Определение. Внутренний закон композиции на Е называется ассоциативным, если для любых х, у, z из Е выполняется

(.X Т У) Т 2 == X Т (У Т ^ )-

Это означает, что последовательная композиция сначала х и у, а затем результата с г, приводит к тому же элементу, что и композиция элемента х с композицией элементов у и z.

Если условиться читать слева направо, то ассоциативный за­ кон позволяет писать

x j у j z вместо . (х т у) т Z.

П р и м е р ы . Сложение, умножение целых чисел.

§ 3. Коммутативность

Определение. Внутренний закон композиции на Е называется коммутативным, если для любых х, у е £ выполняется

X "р у — у ~р X*

К о н т р п р и м е р . Обычное векторное произведение не ком­ мутативно; то же относится к показательной функции: в общем случае не выполняется равенство аь = Ьа (например, а = 2,

Ъ = 3).

Если внутренний закон ассоциативен и коммутативен, то ком­ позиция нескольких элементов из Е может производиться в лю­ бом порядке. Доказательство этого свойства не представляет

мент относительно сложения, т. е. п + п' = п + п" влечет п' = п";

§ 5. Нейтральный элемент

Определение. Элемент е е £ называется нейтральным эле­ ментом относительно внутреннего закона Т на Е, если для лю­ бого X е Е выполняется

§ 6. Симметричные элементы

Определение. Пусть Т есть внутренний закон на Е, обладаю­ щий нейтральным элементом е. Говорят, что элемент і е £ имеет симметричный элемент относительно этого закона, если суще­ ствует такой элемент х' е Е, что

X т х' = х ' Т X = е.

Т е о р е м а 1. Если закон Т , обладающий нейтральным эле­ ментом е, ассоциативен, и элемент і е £ имеет симметричный элемент х', то этот симметричный элемент — единственный, а эле­

Тем самым доказано, что х — регулярный элемент.

З а м е ч а н и я . 1) Если х имеет симметричный элемент х', то он сам будет симметричным для х'.

2)Если закон Т обладает нейтральным элементом и ассо­ циативен, то предыдущая теорема показывает, что если х имеет симметричный элемент х', то х' тоже регулярен.

3)Симметричным для е является сам элемент е.

4)В определении нейтрального элемента и симметричного элемента мы допускали, что х Т е = е Т х. Но можно было рас­

сматривать, скажем, только равенство е Т х — х или х' Т х — е и говорить о левом нейтральном элементе и левом симметричном элементе. Это было бы еще большим обобщением, не имеющим применения в дальнейшем.

36 ГЛ. И. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

По предыдущей теореме 1 у' Т х' и х Т у являются регуляр­ ными элементами.

Этот результат без труда распространяется по индукции на число элементов более двух. Для получения элемента, симмет­ ричного элементу х Т у, нужно учитывать порядок, в котором должны следовать элементы, симметричные к х и к у. Симмет­ ричным к у Т х будет элемент x’ T y'. Очевидно, что в случае коммутативного закона Т этот порядок не играет роли.

§ 7. Понятие изоморфизма двух внутренних законов

Весьма важное понятие изоморфизма принадлежит к тем понятиям, которые необходимы при первом же знакомстве с алгеброй.

Так, пусть Е — множество натуральных чисел, наделенное за­ коном сложения (обозначаемым + ). Пусть F есть множество натуральных степеней двойки, наделенное законом умножения целых чисел (обозначаемым •).

п= п'. Обозначим это отображение через f и запишем 2n=f(n). Следовательно, / (п + п') = / (n) -f (n'). Отображению f, обла­ дающему этим специальным свойством, дается название изо­ морфизма.

Пусть снова Е — множество строго положительных чисел, на­ деленное законом ■, и пусть F есть множество всех действитель­ ных чисел, наделенное законом + . Если х е £ , то отображение

сколько несущественно теоретически, какое обозначение прини­ мается для законов.

Определение. Пусть Е —множество элементов х, х', ..., на­ деленное внутренним законом, обозначаемым Т, a F есть множе­ ство элементов у, у', ..., наделенное внутренним законом, обо­ значаемым -L. Предположим, что существует взаимно однознач­ ное отображение f : х —*у = f(x) множества Е на множество F. Если для любых X, х' е Е

f(xTx')=--f(x)±f(x'),

то Е и F называются изоморфными (подразумевается, что отно­ сительно закона Т в Е и закона J_ в F), a f называется изомор­ физмом Е на F.