Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

240ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

2)d(x, у) = \х — у\ на R есть расстояние. Следует отметить, однако, что расстояние предполагает определенными действи­ тельные числа, а стало быть, и абсолютное значение на R.

d3(x, У) = 2 (ak — ?>к?

Сразу же убеждаемся в справедливости условий 1) и 2). Для

одном и том же множестве может быть определено различными способами. Когда важно будет уточнить выбранное расстояние, метрическое пространство будет обозначаться (Е, d) анало-

•гично тому, как обозначается топологическое пространство (Е,Ѳ~) с базой топологии ЗГ,

2. Второе неравенство треугольника. Из неравенства 3) вы­ текает:

d{x, y)s^d(x, zx) + d{zu z2) + ... + d ( z n- y zn) + d(zn, y).

Отсюда

d(x, y)<,d(x, x') + d(x', y') + d(y', y),

d{x', y')< .d(x', x) + d(x, y) + d(y, y').

Тогда

I d(x, y) — d (x', y')\< ,d(x, x') -f d(y, y').

Если мы возьмем у' — у, x’ = z, то получим второе неравенство треугольника:

I d (х, y) — d (у, z) К d (х, z);

стало быть, можем записать, что для любых х, у, г из В

’ I d(x, у) — d {у, г )|< (1 {х, z ) ^ d (х, y) + d (у, z).

3. Метрическое подпространство. Если (Е, d ) — метрическое пространство и Л — непустое подмножество из Е, то сужёние б расстояния d на А X Л определяет на Л расстояние, называе­ мое расстоянием, индуцированным на Л расстоянием d, а (Л, б)

называется (метрическим) подпространством пространства Е. Так, d(x, у) — \х — у I на R индуцирует на Q расстояние, из

которого исходят при построении R.

§2. Топология метрического пространства

1.Шары. В метрическом пространстве (Е, d) открытым (зам­ кнутым) шаром с центром а е Е и радиусом г ^ 0 называется

ство точек х е £ , для которых d(a, х) — г.

Вслучае R2 вместо шара говорят круг, а вместо сферы —

окружность.

Впространстве R, наделенном расстоянием d(x, у) = \х —у |,

открытым шаром с центром а и радиусом г служит открытый интервал ]а — г, а г[.

Открытый шар нулевого радиуса пуст; замкнутый шар ну­ левого радиуса сводится к своему центру.

З а м е ч а н и е . Шары в метрическом пространстве, вообще говоря, не обладают всеми свойствами шаров или кругов обыч­ ной геометрии. Например, пусть В — шар с центром х и радиу­ сом г, а В ' — шар с центром х' и радиусом г'. Если В Л В' Ф 0 , то найдется общая точка z шаров В и В', и

d(x, x ' ) ^ d ( x , z)-\-d(z, х ')< г + г'

а так как d(z, у) < d(a, у) — г, то d(a,z)>r. Следовательно,

О - и В

уевО

3. Эквивалентные расстояния. Говорят, что два расстояния di, d2, определенные на множестве Е, эквивалентны, если суще­ ствуют такие два строго положительных числа а, Ь, что для любых X е Е и у е Е выполняются соотношения

adi (х, у) < d2 (х, у) < bdi (х, у).

Легко показать, например, что расстояния du d2, d2, опре­ деленные в § 1 на Rn, эквивалентны. Если два расстояния экви­ валентны, то можно также написать:

В соответствии с общими определениями, топология на про­ странстве— произведении Е будет определяться следующим об­ разом: для любой точки х ^ Е роль открытой окрестности базы будет играть произведение открытых окрестностей базы про­ странств Е{. Но точка г е £ имеет вид х = (аь а2, ..., а„), где аі ^ Е і. Пусть В (а*, е*) — открытый шар с центром а,- и радиусом ъи лежащий в Еи и пусть s = min(et). Пусть, далее,

в принятых обозначениях имеем

d-t (сi[, ßi) ^ di (ait Yi) -f- di (у*, ßi),

то

d (x, у) < d (X, z)-\- d (z, y)

при любых x, у, z <= E.

странством и его топология эквивалентна топологии, опреде­

ленной посредством расстояния d = 2 dt.

Теперь, как и в примере 3 (см. п. 1), ясно, что в качестве расстояния можно брать расстояние, эквивалентное d, напри­

мер, CS(df)2)1/2> либо sup di.

І

5. Расстояния, диаметры множеств.

Определения. Диаметром подмножества А метрического пространства (Е, d) называется конечное или бесконечное по­ ложительное число

sup d (х, у). je jl

je А

Мы будем обозначать его б(Л).

Расстоянием между двумя подмножествами А, В метриче­ ского пространства (Е, d) называется положительное число

inf d (х, у).

х е А

уев

Мы будем обозначать его d(A, 3).

Назовем теперь расстоянием от точки х до множества А расстояние от А до подмножества, состоящего из точки х.

ратное неверно.

Определение. Множество называется ограниченным, если его диаметр конечен.