Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

странство должно рассматриваться как ограниченное. Действи­ тельно, согласно элементарному неравенству для положитель­ ных чисел а, Ь имеем

Если (Е, d)— метрическое пространство, то (E,d'), где d ' =

прикосновения множества А, необходимо и достаточно, чтобы

чает, что любой открытый шар с центром х и радусом а содер­ жит у е А.

множество и точка, ему не принадлежащая, могут быть отде­ лены, непересекающимися открытыми множествами.

Ибо если А замкнуто и если х ф А , то d{x,A)> 0. С одной стороны, каждому г / е Л соответствует открытый шар Ву с цент­ ром у и радиусом (l/2)d(x, А), а точке х соответствует откры­ тый шар Вх с центром х и радиусом (1/2)d(x,A). Шар Вх и

открытое множество

U В У У & А

не имеют общих точек.

Следствие 2 (в силу гл. V, раздел 3, § 1, п. 2) формули­ руется следующим образом.

С л е д с т в и е 2. В метрическом пространстве любая окрест­ ность точки содержит замкнутую окрестность этой точки.

В такой форме оно доказывается совсем просто (см. гл. 6, предложение 4).

П р е д л о ж е н и е 2. Для любого подмножества А метриче­ ского пространства множества А и Ä имеют одинаковый диа­ метр.

пология, определенная посредством открытых шаров, имеющих центром точку х, а радиусами — строго убывающую последова­

база открытых шаров <М(х) является счетной. Но из этого не следует счетность базы топологии 3". Однако имеет место сле­ дующее предложение (иллюстрируемое случаем пространства Rn, где множество точек х = (ссі, а2, .... а п) с рациональными координатами оси плотно в Rn) :

П р е д л о ж е н и е 2. Если в метрическом пространстве (Е, d) существует счетное плотное множество А, то топология может быть определена при помощи счетной базы.

Обозначим через хь х2, ..., Хи, ... точки из Л и рассмотрим множество £Г открытых шаров с центрами в точках xk и радиу­

Обратно, пусть имеется открытый шар с центром х и ра­ диусом г12. Так как Л плотно в Е, то этот шар содержит точку

щей точки, так как если бы такая точка у существовала, то мы имели бы

О< d (х, x') ^ d ( x , у) -f d (x', у) < (2/3) d (х, x'),

что невозможно.

248 ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

ности, тогда, когда будет идти речь о компактных простран­ ствах, об отображениях одного метрического пространства в другое (см. также гл. VI).

Прежде всего мы заметим, что для того чтобы последова­ тельность (хп) сходилась к точке х е Е, необходимо и достаточ­ но, чтобы последовательность d(x,xn) стремилась к нулю.

Ибо если (хп) сходится к х, то всякий открытый шар с цент­ ром X и радиусом е содержит все хп, кроме соответствующих

те хп, для которых d{x,xn)<. е, и стало быть, содержит все хп, кроме конечного числа.

жества А, необходимо и достаточно, чтобы существовала по­ следовательность (хп) точек из А, сходящаяся к х.

В самом деле, если х„ і= А и если х„ стремится к х, то лю­ бой открытый шар с центром х содержит некоторое хп, а зна­

косновения последовательности (х„), необходимо и достаточно, чтобы существовала подпоследовательность последовательности

пересекает любое множество, содержащее все (хп), кроме ко­ нечного числа.

П р е д л о ж е н и е 3. Для того чтобы отображение f метри­ ческого пространства (Е, d) в топологическое пространство F было непрерывно в точке х0е Е, необходимо и достаточно, что­ бы для любой последовательности (хп) точек из Е, сходящейся к х0, последовательность f(xn) сходилась в F к f(x0).

В самом деле,, предположим, что f непрерывно в точке х0; ' пусть y0— f(xо). И пусть (хп) — последовательность, сходящаяся

точке х0. Тогда существует такое содержащее уо открытое мно­ жество У, что /_1(У) не содержит никакого открытого шара в Е,

d(*o,*nX рі/2п, и обладает тем свойством, что /(х„)<=£У при любом п\ это свойство противоречит предположению, что f(xn) сходится к уо, из которого следует, что У должно содержать все f(xn), кроме соответствующих какому-то конечному числу

неравенство

I d (хп, уп) — d (Хо, уо)\ < d (хп, х0) + d (уп, Уо)>

которое и доказывает наше утверждение.

§ 3. Компактные метрические пространства

Важным свойством компактности является то, что она мо­ жет быть определена при помощи последовательностей.

Не изменяя способа доказательства, получаем ту же тео­

пространства было компактно, необходимо и достаточно, чтобы всякая последовательность со значениями в А содержала под­ последовательность, сходящуюся к некоторой точке из А.

В том, что относится к расстоянию между двумя замкнутыми множествами, имеет место следующий результат, справедливый для компактных множеств и неверный для произвольных зам­ кнутых множеств.