Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

250

ГЛ. Vir.

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

П р е д л о ж е н и е .

Если А и В — непересекающиеся ком­

Действительно,

так как

d (А, В) = inf d(x, у),

X <= А

у^в

то найдется такая

последовательность (хп) в Л и такая после­

довательность (уп) в В, что lim d(xn,y n) =

d(A,B). А поскольку

А и В компактны,

то из

(хп) и из (у п)

можно извлечь под­

последовательности

и (Уп^)> сходящиеся соответственно

к X ^ А и к г/ е

ß.

0 и для достаточно большого k имеем

Тогда для любого е >

d(x, y)<sd(xnk, г/„А) + е;

значит, d(x, у)

d(A, В) ;

а в силу того, что d(A, В) ^ d(x, у),

имеем

d(x, y) = d(A, В).

Но А П В = 0 ;

следовательно, д ( х , у ) ф 0

и d(A, В ) Ф 0.

§ 4. Связные метрические пространства

Те о р е ма .

Пусть А — компактное подмножество метриче­

ского пространства (Е, d)

. Если для

любых точек а, b из А и

любого е > 0 существует

такая

конечная

последовательность

точек а0, аи ..., ап из А,

что а0 =

а,

ап =

Ь и что d(ah, а&+1) ^

Т. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

651

1. Последовательности Коши.

точек метрического

Определение 1. Последовательность (хп)

пространства (Е, d) называется последовательностью

Коши,

если

lim

d (Хр, xq) — 0.

ОО , < ? - > о о

Напомним,

что выражение

lim

d (Хр, xq) = 0

ОО, q->OQ

означает,

что

для любого

е > 0

найдется такое целое

Р, что

если р

Р и q ijs Р, то d(xp, xq) <

е; этот предел является пре­

делом относительно произведения натуральных фильтров на N.

С в о й с т в а

п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й

Коши.

1) Вся­

ность Коши не сходится: к таким принадлежит Q.

и если (у„) —

2) Если (хп) есть последовательности Коши

такая последовательность,

что \\rad(xn, y n) — 6,

то (уп) есть

последовательность Коши.

В самом деле, имеем

lim d(xn.,

je) =

0,

то d{xnk, x ) < e для

k ^ k 0. Но

для р ^ Р и q ^ P имеем

d(xp, Xq) < ё. Тогда

d (Хп,

(хп, Хпк) +

d {Xnk, х),

252

ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

а для я > птах (Р, и*,) (и

^ шах (Р, л*,)) имеем

d (хп, х) ^ е + а.

5)

Если (аг„) есть

последовательность Коши относительно

lim

d (Хр, xq) — 0.

оо, q-> со

Иными словами, если метрическое пространство полно и если

для

последовательности

(хп)

доказано, что lim d(xp, xg) — О,

то можно утверждать, что в этом пространстве существует (и

притом единственная) точка х,

для

которой lim d(xn, х) =

0.

Пр и ме р ы .

1)

R есть

полное

метрическое пространство

при расстоянии d(x, у) — \х — у\.

2)

Множество непрерывных числовых функций на [0, 1], на­

деленное расстоянием

d (х, у) =

sup \x(t) — y(t) 1,

полно.

t е [0, 1]

П р е д л о ж е ­

2.

Свойства полных метрических пространств.

ние

1. Если (E ,d )

полно,

то

Е полно и относительно эквива­

лентного расстояния.

d' — расстояние, эквивалентное

d,

то,

В

самом деле, если

как мы видели (свойство 5)),

любая последовательность

Коши

в {Е, d) является последовательностью Коши в (E,d'). С дру­

гой стороны, если хп сходится к л: в (Е, d), то хп сходится к х

и в (Е, d').

2.

Произведение п полных метрических

П р е д л о ж е н и е

пространств (Еі, dt) есть полное метрическое пространство.

Произведение

Е наделено расстоянием d — 2 di.

Если

(xk)

есть

последовательность

Коши

в (E,d), то lim d(xp, xq) =

0, и

значит, положив

1. М Е Т Р И Ч Е С К И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А

2 5 3

получим

%k

1»

2’ •••» ®k,n)>

п

ііт

2

d,(aPth a?it) =

0.

р->оо, q->oo /= 1

Следовательно,

lim

dt(aPti, a?i,) =

0.

p->oo, <?-»oo

А так как

(2:,, d,)

полно,

то

для любого

г существует такое

«г е £ г-, что

lim di (ар,,,

а/) = 0.

р-> ОО

Стало быть,

для л: =

(«і,

. . . , а п)

имеем

lim d (Хр, л:) =

0.

р->0о

Пример .

Пространство

/?

полно;

пространство — произве­

дение Rn полно.

Всякое

компактное метрическое пространство

Т е о р е м а

1.

полно.

(Е, d)

Действительно,

если

компактно и если

(дг„) — после­

последовательностью Коши,

то она сходится (п. 1, свойство 4).

Так, на R подпространство, определяемое замкнутым интер­

валом [а, Ь], компактно, и значит, полно.

Обратное

же

неверно: R

полно, но не компактно.

Т е о р е м а

2.

Для того чтобы подмножество А полного мет­

но, чтобы оно было замкнуто.

и А — его

Пусть

(Е, d) — полное

метрическое пространство

замкнутое

подмножество.

Пусть, далее, (х п) есть

последова­

^ замкнуто,

то х е

А.

Обратно,

пусть

(Е, d) — метрическое пространство, А — его