Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

ния предыдущей теоремы мы доказали, что полное подпростран­ ство метрического пространства (не обязательно полного) зам­ кнуто.

2) Теорема 2 означает, что в полном метрическом простран­ стве классы замкнутых множеств и полных подпространств тождественны (ср.: в компактном пространстве совпадают классы замкнутых множеств и компактных подпространств).

3. Свойство Бэра для полного метрического пространства.

Полные метрические пространства, как и локально компактные

счетное объединение замкнутых множеств без внутренних то­ чек в Е не имеет внутренних точек в Е.

Или еще: всякое счетное пересечение открытых всюду плот­ ных в Е множеств всюду плотно в Е.

Доказательство в некотором смысле проще, чем в случае

содержит непустой открытый шар ßi. Пусть F{— непустой зам­ кнутый шар, лежащий в Вх (см. предложение 4, п. 6). Выберем этот шар F1 так, чтобы его радиус был <г\. Пусть Ёхс F\, Ёх— непустой открытый шар. Так как Ёх открыто и непусто, то Ё1 П 0 2 тоже открыто и непусто и содержит непустой открытый

пустых замкнутых шаров (Fn), имеющих соответственно ра­ диусы < г „ и таких, что

Fn а ß„_, П 0„_„

откуда следует, что Fn czFn_x и Fn czBf\ f] O n. Остается, стало' быть, показать, что шары Fn имеют непустое пересечение.

сходится к некоторой точке л: е Е. Но каждый замкнутый шар Ер является замкнутым множеством (см. предложение п°2 § 2) и содержит все члены последовательности {хп}, начиная с но­

З а м е ч а н и е . Пусть О — непустой открытый шар в полном метрическом пространстве Е. Подпространство О, вообще го­ воря, не будет полным, метрическим пространством. Но оно, очевидно, обладает свойством Бэра, так как если А — открытое всюду плотное подмножество подпространства О, то А открыто

но причине ее общности, так и из-за ее приложений. Она озна­ чает, что любое метрическое пространство может быть погру­ жено в полное метрическое пространство. Это то же самое яв­ ление, как для множества Q рациональных чисел, которое само не является полным и которое может быть погружено во мно­ жество R действительных чисел, являющееся уже полным про­ странством. Доказательство, приводящее к полноте метриче­ ского пространства, в точности такое же, как при построении а , исходя из последовательностей Коши в Q, но в предположе­ нии, что R построено; в более широкой теории можно эффек­ тивно показать, что эти два способа построения пополнений яв­ ляются частным случаем более общего факта.

Те о р е ма . Пусть (Е, d) есть метрическое пространство. Можно построить метрическое пространство (Е, б), которое об- ладает следующими свойствами:

1)Существует взаимно однозначное соответствие между Е

инекоторым подмножеством из È.

2)При отождествлении Е с этим подмножеством из В рас­

стояние, индуцируемое на Е расстоянием б, совпадает с d, и Е плотно в Ё.

3) (В, б) полно.

Пространство {Ё, б) называется пополнением пространства

{Е, d).

Пусть Г — множество всех последовательностей Коши про­ странства (E ,d ). Тогда элементом и множества Г будет такая последовательность (хп) элементов из Е, что lim d(xp, xq) — 0.

Так как (xn) и (yn)— последовательности Коши, то pj, — p^ стремится к нулю, и значит, (р„) есть последовательность Коши

вR, и стало быть, сходится. Пусть теперь

р= lim d (хп, уп) > 0.

Покажем, что р зависит лишь от классов |, л последова­ тельностей (хп) и (уп)■ В самом деле, если {х'п) ~ (хп) и (Уп)~ (Уп), то снова

I d (хп, уп) - d (х'п, y'n) \ < d (хп, х'п) + d (уп, г/');

Положим теперь р = 6(|, ті). Утверждается, что б есть рас­ стояние на Ё. Действительно, имеем р ^ 0; равенство р = 0 означает, что для последовательности (хп) и последователь­

ности (уп) s т] имеем

lim d(xn, Уп) = 0,

т. е. (хп) ~ (Уп), и І = ц; обратно, легко видеть, что если 1=ті,

то

0(1, л) = 0.

Свойство 6(1, л) = 0(Л. S) очевидно. Наконец, из неравенства

258ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

3)(Ё, 6) полно. Пусть (|„) — последовательность Коши в (Ё, б). Покажем, что существует такое | е Ё, что

ством, если оно наделено полурасстоянием, т. е. таким отобра­

Топология в & определяется тем же способом, что и в случае расстояния, но эта топология, вообще говоря, не будет отдели­ мой. Наиболее важным примером будут служить полунормиро­ ванные пространства, иллюстрируемые пространством 9 инте­ грируемых функций. Но полуметрическому пространству факто­ ризацией по надлежащему отношению эквивалентности можно отнести некоторое метрическое пространство (а значит, отдели­ мое) .