Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 178

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

354 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

что 1/2'"»< е/2. Возьмем т

=

max ( п

ц , т

2 )

. Если

 

 

 

 

оо

 

I

ір,

к

Ір,

k I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' +

I ip, k —Ір ,

<8/2,

 

 

 

 

 

k I

 

то тем более

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ip. k

Ір ,

ft I

<

e/2.

 

 

 

 

 

I ~Ь 1ip, k

 

 

 

 

 

 

 

Ір , k I

 

 

 

Если в этой конечной сумме устремить q к бесконечности, то

получится

 

y _ L \ h > k - U \

 

<,

 

 

 

 

 

 

 

ièi 2fe

1 + 15р, ft—is I

 

 

 

 

Так как, с другой стороны,

 

 

 

 

 

 

 

ОО

I

I

ip, ft

ift I

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

<

e/2,

 

2ft

1+

 

 

2

 

 

 

I ip, ft — ife I

 

 

 

 

то окончательно получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

( X p ,

x ) < e

(p > m).

 

 

П о с т р о е н и е п р о с т р а н с т в а S п о с р е д с т в о м по­

п о л н е н и я . Если задано S

и если х р

стремится

к х , то, как

мы только что показали, для любого k

 

 

 

 

 

 

 

 

l i m

l p,k =

U \

 

 

 

 

 

 

 

 

р-> оо

 

 

 

 

 

 

 

можно сказать, что сходимость последовательности элементов из S влечет покоординатную сходимость этих элементов.

Рассмотрим теперь элементы е,- = ( е г и, ), где е,, і =1, и е ,а , — = 0, если і ф- k. Эти элементы порождают векторное простран­ ство Е над R, причем элемент а е £ определяется формулой

т

О-— 2 аіеі<

«=і

где а і — действительные числа и т — целое число. Такой эле­ мент а представляет собой последовательность действительных чисел, равных нулю начиная с некоторого номера т , и называет­ ся конечной последовательностью. Для любых двух элементов а

и b из Е полагаем

(в очевидных обозначениях):

 

оо

1«а- Pft I

d

(a > ö) = S ^ r

1+1 ak - ßft I

 

ft-i Л

2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

355

Тем самым определено расстояние на Е. Пополнение про­ странства Е есть множество классов эквивалентности последова­ тельностей Коши (ßp), (Ър), определяемое следующим образом:

(ap)~(bp)<=} lim d(ap, bp) ~ 0.

р->оо

Речь идет о том, чтобы выяснить, можно ли отождествить пополнение с пространством, все элементы которого являются последовательностями действительных чисел, и в частности, с пространством 5.

Если ßp = (ар,к) — последовательность Коши, то

 

lim| аРі k — aqtk | =

0.

Пусть

%k ~p, чlim <xPi fe

и X=

(^&).

 

p-> 00

 

 

 

Если (йр) ~

(bp), то lim 1а р> fe — ßp, * I =

0

для любого к\ следо-

вательно,

р

 

 

 

lim ßp,* =

lim ар, ft,

 

 

p-> oo

p-> oo

 

 

Таким образом, классу, определяемому посредством (ар), то есть элементу пополнения В, можно поставить в соответствие не­ который элемент х е S.

Для большей ясности обозначим через f определенное таким

способом

отображение ё в S. Покажем,

что f(É) = S, т. е. каж­

дое x e S

есть образ при отображении f

некоторого класса эк­

вивалентности. Пусть X =

(Іи)

и

 

 

р

 

Е2» •••» Ер»

 

 

^p ==

(El»

О» И» •••)•

Элементы ар образуют последовательность Коши, ибо, если

предположить, скажем, р <

q, то

 

d(ap> aq) =

^

і

1

 

+ lift I < '2*

k—p+i 2ft

и, каково бы ни было k,

будет пределом при р~*оо для k-u

координаты элементов ар. А это и доказывает, что f есть отобра­ жение Ё на S.

Чтобы показать взаимную однозначность отображения /, до­ статочно доказать, что если х — образ при отображении f двух последовательностей Коши (йр), (Ьр), то эти последовательно­ сти эквивалентны, т. е.

lim d(ap, bp) — О,

12*

356

ГЛ.

IX ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Но если к =

(Іи) есть образ последовательностей (ар) и (Ьр), то

 

 

 

linn ap,k = lim ßp,* =

g*

 

 

 

£? —> ОО

р - > ОО

 

при любом k. Тогда,

взяв достаточно большое т, получаем

 

 

оо

lap.fe-ßp.fel

/г>

 

 

Y

1

 

 

f t- tti2*

1+ I «Р. * —Эр.* I

 

а затем, взяв достаточно большое р и зафиксировав т. полу­ чаем

т I

lap, ft —Pp. fe 1

< e/2,

 

1+ I aP. ft —ßp. * I

 

поскольку

 

0.

•im la,,.* — ßp, ft 1=

£ p-> oo

 

Отсюда вытекает, что d(ap,bp)<_ e, и утверждение доказано. Такой способ рассуждения будет использоваться в теории

интегрирования.

З а м е ч а н и я . 1) Напомним еще раз, что последовательность есть функция переменного k е N. Предыдущее пространство есть не что иное, как пространство числовых функций, определенных на N.

2) Построение S пополнением подчеркивает существование счетного семейства (ег) элементов из 5, конечные линейные ком­

бинации которых образуют пространство, плотное в 5.

есть

2. Пространства Lp (N).

Если 1 ^

р < +оо,

то L*>(N)

пространство числовых последовательностей * =

(!*), для

кото­

рых ряд

2 і £* Ір сходится; оно наделено нормой

 

 

 

іі* іі= ( 2 ц *>)1/р.

 

 

Если

р — + 00 , то L°°(N)

есть пространство

ограниченных

последовательностей, наделенное нормой

 

 

 

II X

II =

supI I k

\.

 

 

 

 

 

k

 

 

 

Это банаховы пространства, определение и свойства которых

будут приведены в качестве

частных случаев пространств Lp

в главе X, посвященной интегрированию.

здесь,

имеет

Прямое исследование,

которое

проводится

своей целью лишь проиллюстрировать на примере содержание настоящей главы.

Укажем схему доказательства того, что это — банаховы про­ странства. '

 

 

2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

357

Используя

неравенство Минковского (см. гл. X, раздел 5,

§ I), тотчас

же приходим к тому, что множества Lp (N)

(1 ^

sg; р < +оо)

являются векторными пространствами и что

 

 

 

i u i M 2 i s * i p)1/p

 

 

есть норма. В случае р = +оо свойство почти очевидно.

при­

Затем доказываем, что это — банаховы

пространства,

чем принцип доказательства тот же, что и в п. 1.

 

Найдем

непрерывные линейные

формы

на пространствах

L? (N) для

1

р < + 00.

 

 

 

 

Последовательности еи определенные в п. 1, принадлежат

Lp(N). Если X = (lh), то пусть снова

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

Так как

 

Хп = = =

1

 

 

 

 

 

/ оо

у (Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ \ х - х п \ \ =

S U f e N

 

 

 

 

 

\п+1

/

 

 

стремится к нулю, то х п сходится к х , и мы можем записать

Поо

X— lim 2 § ^ = 2 ? ^ .

П ОО I

I

Пусть / — непрерывная линейная форма на Lp (N). В силу непрерывности / имеем

/{ х ) == lim / { х п),

П-> оо

но для

п

Хп == 2 %>k&

в силу линейности / имеем

f(xn) = t u f ( e k).

1

Пусть а = (ап) — последовательность действительных чисел, определяемая как оса= /(е&). Тот факт, что

f{x)= lim f(xn),

Я-->00

означает, что

358 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

есть сходящийся р я д И ЧТО

00

 

f(x) = ^1, l kak.

Таким

образом, всякая непрерывная линейная форма f на

Lp(N)

записывается для 1 sg: р <

+ °° в виде

 

 

оо

 

x-*f(x) =

'2iZkak,

 

 

I

где ak = f(ek).

Чтобы охарактеризовать а = (ак), воспользуемся последова­ тельностями x — (lh) и свойством непрерывности формы f, запи­

санным в виде неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

\f(x)\< \\fh \\x\\.

 

 

1)

Если р =

1,

то пусть X = ек при ак ^

0 и х = —ек при

аи <

0, т. е.

 

 

 

X = ( s i g n а к) е к.

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

f

W

=

l a

, | < | | f M

| xi | f| | || , =

 

 

ибо здесь II X II =

II

eh II

=

1.

L°°(N)

и

 

 

Следовательно, а =

(ак) е

 

 

 

 

 

| | a

| | L oo =

s ukp | а к К

I l f

II.

 

Обратно, если

а =

(ак) е

L°°(N),

то

пусть

для любого х е

e=V(N)

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - * f ( x ) = ’2 l akl k. .

I

Тем самым определена непрерывная линейная форма, ибо

lf(* ) l< 2 la * |l& l< lla ||2 l £ * |.

 

1

I

 

2) Если 1 < р < +°о, то рассмотрим число q, сопряженное

к р, т.е. такое, что (l/p)-}-(\/q)= 1,

и возьмем

последователь­

ность X из Lp (N), определяемую как

 

 

Ій= (sign aft)| а,к f7-1, если ft О ;

g* — 0,

если ft > п.

Так как q = р (<? — 1)', то

Up

 

 

 

11*11 = 2) I «л Г t

Смотрите также файлы