Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

было непрерывно в Е, необходимо и достаточно, чтобы существо­ вало такое конечное действительное положительное число М, что для любого л е Е

II f W I K Л* II *11.

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть последовательность (х„) элемен­

Следовательно, f(x„) стремится к f{x0), какова бы ни была последовательность (х„), сходящаяся к х0; значит, отображение

/непрерывно.

Не о б х о д и м о с т ь . Предположим, что отображение / ли­ нейно и непрерывно. В частности, оно непрерывно в точке О <= Е.

Значит, в Е найдется такой шар В с центром О и радиусом р > 0,

1 /|а Г < ||* ||/р |а |.

Отсюда окончательно получаем

II / (*) IK /WИXII,

где М = 1/р I а I.

т— sup ||/(x )|K M .

За м е ч а н и е . Часто, когда f будет непрерывным линейным отображением одного нормированного пространства в другое, мы

будем писать

II fix) IKIlflMUII.

Если / — непрерывная линейная форма, то мы будем писать

If WIOI fl HUII -

О б о с н о в а н и е о п р е д е л е н и я . Множество линейных отображений f пространства Е в пространство F есть векторное пространство над тем же полем, и определение || f 1| сразу же по­ казывает, что II / II обладает свойствами нормы. Это, стало быть, есть норма на векторном пространстве 9 (Е, F) непрерывных линейных отображений пространства Е в F.

3.Применение теоремы Хана— Банаха к непрерывным ли­

нейным формам (продолжение). Т е о р е м а 2. Пусть задана не­ прерывная линейная форма f на подпространстве Е' нормиро­ ванного пространства Е. Тогда существует такая непрерывная

нейной формой; по предыдущей теореме, она может быть про­ должена до линейной формы, удовлетворяющей сформулиро­ ванным условиям.

Важность этого следствия заключается в том, что оно дока­ зывает существование на любом нормированном пространстве непрерывной линейной формы, отличной от нулевой; или, еще, что пространство непрерывных линейных форм не сводится к ну­ левому элементу.

4. Непрерывные линейные формы на гильбертовом простран­ стве. Пусть Е — гильбертово пространство, где норма, следова­ тельно, определяется скалярным произведением. Если (х, у) е

то в силу неравенства Шварца имеем

l( * l * / ) K I U I I [ | y [ | .

При фиксированном у отображение х-*(х\у) превращается в линейную форму и на Е\ и{х) = (х\у), а предыдущее неравен­ ство— в неравенство

|и(*)КІШІІІ*ІІ = АПІ*ІІ, .

показывающее (теорема 1 из п. 1), что и есть непрерывная ли­ нейная форма на Е. Таким образом, любой элемент у е Е опре­ деляет, при помощи соответствия х —*(х\у), непрерывную линей­ ную форму.

Мы покажем, что верно и обратное, т. е. если имеется непре­ рывная линейная форма и на гильбертовом пространстве Е, то найдется такой элемент у е Е, что и(х) = (х\у).

Т е о р е м а 3. Всякая непрерывная линейная форма на гиль­ бертовом пространстве записывается в виде x~*(x\t/).

Сначала мы докажем, что если и — непрерывная линейная форма на Е, то ее норма || и || является значением \и(%) | в неко­ торой точке g единичной сферы; а затем докажем, что этот век­

сферы о, что

lim I и (ln) | = || «II.

Заменяя по мере надобности некоторые £п на —£„, можем пред­

него неравенства стремится к нулю, чем доказано, что || £т — £„ || стремится к нулю, и значит, что (£п) есть последовательность Коши. А поскольку а замкнута в полном пространстве Е, то она является полным подпространством, и поэтому £п сходится к не­ которому £ е о. В силу непрерывности и имеем

II ы || = lim« (У = «(£).

Пусть теперь имеется ядро М = гг1(0) отображения и, т. е. множество тех J te £ , для которых и{х) = 0; покажем, что £ ор­ тогонально М.

В самом деле, для любого х е М имеем

причем оно будет справедливо при любом х е М . Согласно тео­ реме 1 из главы VII, раздел 2, § 3, п. 6 это влечет, что £ ортого­ нально М, т.е. (£|г/) = 0 при любом і/е М .

Пусть V—линейная форма, определяемая равенством

о(*) = (х|£)и(Ю,