Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 0
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
359 |
далее, имеем
п |
Г п |
\ І / р |
fW =2|a*r<im M UI|==||/|| |
Si«**!* , |
|
Ä=1 |
\fc=l |
/ |
откуда следует, что сумма
ограничена, и значит, что
Стало быть, |
|
a = (ak) e =L< ( N) . |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
/Ч*) = 21і * «л, |
|
где (ab)^L v(N ) |
и || ö II < II / ||. |
то неравенство Гёль- |
|
Обратно, если |
x e |
Lp (N), a ^ L 4 (N ), |
|
дера показывает, |
что |
последовательность |
(autk) принадлежит |
L1(N) и что
ОО
І
определяет непрерывную линейную форму на Lp{N)\ кроме того,
|
/ |
оо |
\ 1 / р / о о |
\\jq |
|
|
І / ( * ) І < ( 2 і Ы Р] |
(2 l« * l9J . |
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
f(*) = 2 |
a-klk, |
l[ f I! = II о [Ip- |
||
Итак: |
|
линейная форма |
на Lp (N) (1 ^ р •< |
||
Всякая непрерывная |
|||||
<; -f оо) |
записывается в виде |
|
|
|
|
|
/(■«) = |
2 |
öfeift, |
|
|
где а = |
(aft) f= Li(N), и ||/|| = |
ЦаЦ,. |
|
||
З а м е ч а н и я . 1) Если р = +оо, то результат не имеет ме ста: не всякая непрерывная линейная форма на L°°(N) записы
вается в виде /(х) = 2 | йОа» где а — (ак) <= L1(N).
2) Топологическое сопряженное пространство (пространство
непрерывных линейных форм) |
к Lp (N) отождествляется с L?(jV) |
||||
для 1 |
< |
—|-оо. Так как (1/р) -f (1/q) = 1, |
то |
сопряженное |
|
к Li(N) |
при |
1 <Г р, «7< - { - о о |
отождествляется |
с |
Lp {N) .Г ово- |
рят, что Lp(N) рефлексивно (если 1 < р <. ^-_оо).
360 |
ГЛ. IX. |
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ |
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
Топологическим сопряженным к пространству L2(N) будет |
|||
оно само. |
|
|
|
3) |
Заметим, |
что (а, я) —►2 |
есть билинейная форма на |
(Lp XL?); это |
позволяет проиллюстрировать на простом при |
||
мере |
теорию, относящуюся к двойственности двух топологиче |
||
ских векторных пространств.
3. Пространство (с). Пространство (с) есть пространство сходящихся последовательностей, наделенное нормой простран ства L°°(N)\ стало быть, это есть подпространство пространства
L°°(N).
Так как для любого 1 ^ р < + °° из того, что x ^ L p (N), следует
lim I и 1=0.
оо
то
L”(N) cz (с) cz L°° (JV).
Легко видеть, что (с) тоже является банаховым простран ством.
Пусть для X = (ifc) е (с) справедливо равенство
|
1 = lim и . |
|
fe-*oo |
Введем снова элементы |
которые принадлежат (с). |
П
Если xn = ^1i l kek, то
IU — Хп 1 1 =sup \lk I
k > t l
не стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности, кроме
случая, когда | = lim | |
|
|= 0. |
|
|
|
Но поскольку |
k->OQ |
|
|
|
|
|
|
SUplift |
1; I |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
fe> n |
последовательность е = (1). |
|
стремится к нулю, то мы введем |
|||||
Тогда |
|
П |
|
|
|
I |
|
|
II |
|
|
|
2 |
{ и - 1 ) е к\= |
sup| и — І 1. |
||
\х — іе — |
|||||
|
fc=I |
|
II |
k > n |
|
Следовательно,
оо
x = le + 2i(lk — t)ek, fe=i
и если f — непрерывная линейная форма на (с), то
f (X) = Ше) + Hm È (U - |
І) / (в*) = V (е) + 2 (6* - 1) / (в*). |
П~>00 |
1 |
|
|
2. |
Н О Р М И Р О В А Н Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А |
|
|
361 |
|||
Пусть |
a = |
f(e), a,k = |
f(eh) и |
пусть |
Іи — sign ал, |
если |
k ^ |
п, |
|
и = |
0, если k > |
п\ имеем |
|
|
|
|
|
||
|
|
11*11=1, |
£ = 0, |
/(* )= 2 і« * К ІІ/І|. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
к- 1 |
|
|
|
Значит, |
|
|
a = (ak)e=L'(N). |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обратно, |
если |
a — (a ,k )^ L l (N) |
и если | = 1 |
і т | й , |
т о |
ра |
|||
венство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (*) = Ы + |
2 ilk — I) «ft |
|
|
|
||
определяет непрерывную линейную форму, и мы можем запи сать:
fix)- |
2 |
« f t ) + |
2 ? |
а«*- |
Пусть е > 0 и п выбрано |
так, |
что |
2 |
I а * | < е (такое п су- |
|
|
к=п+1 |
|
|
ществует, так как (afe) s L ‘ (N)). Взяв теперь £ft=sign (aÄ) при k ^ .n ,
°° |
\ |
|
|
|
|
|
СО |
(a — 2«ftj при k > п, получаем I — sign a ~ |
2 «а. и |
||||||
f i x) — I |
— «2 « а I |
+ 2 1 «£ i |
2 « л ?* . |
|
|||
|
|
|
|
6=1 |
|
k = n Jr 1 |
|
где X = (Ift); отсюда |
следует, |
что |
|
|
|
||
I |
a — 2 a* I |
|
+2 I а* КII / II + е, |
|
|||
|
|
|
|
6=1 |
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
| |
« |
- 2 « f |
t |
| + |
2 l « f t l +< l e,l f l l |
|
|
|
|
|
|
ft=i |
|
|
|
и так как это неравенство |
справедливо |
для любого |
е > 0, то |
||||
Но поскольку |
|a-2«ft| + 2l«ftKII/l|. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (*) I ^ ( I« |
|
2 « ft| + 2 і |
«а1)11*11. |
|
|||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
11/11= a — 2 a* |
+ 2i as |
|
||||
352 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
З а м е ч а н и е . Если 2 |
«а£а |
определяет непрерывную |
ли |
|
нейную форму на (с), то |
|
|
|
|
a = |
(ak) < = L l (N). |
|
||
В самом деле, достаточно взять |
= |
sign оса, если k ^ п, |
= О, |
|
если k > п, и тогда |
|
|
|
|
11*11=1, |
2 Oftis |
= |
2 la * [ < ||f ||. |
|
Но в этом случае |
|
|
|
|
f W K S la fc[ lull,
и стало быть,
If 1= Si ak
4. |
Суммирование рядов (или последовательностей). |
Пусть |
|
X — (Іи) — последовательность |
действительных чисел, т. е. |
не |
|
который элемент из S (см. п. |
1). Если пытаться превратить ее |
||
при помощи линейных отображений в сходящуюся последова тельность, т. е. в элемент из (с), то очевидным будет условие, состоящее в том, что если дсе (с), то преобразованная последо вательность должна принадлежать (с), и предел (в R) преоб разованной последовательности должен быть равен lim £а.
Так мы приходим к рассмотрению чисел ап,и и последова тельности с общим членом
. оо
|
|
|
|
|
fn(x) == 2 Щг, |
|
|
|
|
|
А=1 |
При этом требуется выполнение следующих условий: |
|||||
для любого X е |
(с) |
|
|||
1) |
оо |
|
|
|
|
2 |
|
klk есть сходящийся ряд для любого п\ |
|||
|
А=1 |
|
|
|
|
2) |
^ 2 |
a«, klk^jе |
(с)'> |
|
|
- 3) |
lim |
|
2 а«, k l k ) = Hm U - |
||
|
П-* оо( |
|
/ |
k->oo |
|
|
|
\ k |
|
||
Говорят, что числа (ап, к) определяют метод суммирования.
Найдем 'необходимые и достаточные условия для того, чтобы метод (аПін) был регулярным.