Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 177
Скачиваний: 0
350 |
ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
||
|
|
|
|
|
где и — заданная непрерывная |
линейная |
форма и |
| — точка |
|
сферы а, определенная выше равенством [| |
ы I = и ( |) . |
Покажем, |
||
что V = и. |
|
|
|
|
|
Прежде всего имеем |
|
|
|
|
О(6) = Ш ) И (І) = |
ШР и (Ö== П о |
|
|
|
следовательно, |
и ( і ) . |
|
|
|
V( I ) = |
|
|
|
Пусть теперь точка х принадлежит М, т. е. и(х) = 0. Для этой точки имеем
ѵ(х) = (х\ Юи Ш — °>
поскольку (лг|£) = 0 (ортогональность | к М).
Пусть, наконец, х — произвольная точка из Е. Множество М, будучи векторным подпространством пространства Е, замкнуто в силу непрерывности формы и, и поэтому, по теореме о разло жении (там же) имеем: х = х0-{- z, где ХоеМ и где z ортого нально M. Но g ортогонально М; значит, z = ocg, где а действи тельно. Имеем, следовательно, х = Xq-f- ag, и
и{х) — и (х0) + аи (g) = аи (g),
откуда
а = и(х)/и (g).
После этого для х = х с о Ч - cc^ с || 11| — 1 и a(g) = 0 имеем
ѵ(х) = ѵ (хо + ag) = (дго + а |||) и (g) =
= (х0\ g) и ( і ) + all g ff и (g) = (хо ІЮU(!) + U (х) = и {х).
Таким образом, ѵ(х) = и(х) для любого х е £ , и значит, ѵ — и.
§ 3. Теорема Банаха— Штейнгауза
Предыдущие параграфы касались свойств одного линейного отображения векторного пространства в векторное пространство. Теорема Банаха — Штейнгауза имеет дело с последовательно стями непрерывных линейных отображений. Речь идет здесь о свойствах пространства непрерывных линейных отображений од ного топологического векторного пространства в другое.
Т е о р е м а 1. Пусть (fn) — последовательность непрерывных линейных отображений нормированного пространства Е в нор мированное пространство F. Если множество норм || fn || ограни чено, то семейство функций fn равностепенно непрерывно.
В самом деле, имеем
II fn(х) — fn(хо) II = II fn(х — л:0) | | < МIIX — лг0 II,
где
Af = sup||/„J|.
П
|
2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
351 |
||
Если II х — х0 II < е/М, то |
|
|
|
|
|
II fn (х) — fn |
|
II < 8 |
|
при любом п. |
|
§ 2, в конце.) |
|
|
(Гл. VIII, раздел 1,(*о) |
|
непрерывных ли |
||
Т е о р е м а |
2. Если последовательность (/„) |
|||
нейных отображений нормированного пространства Е в банахо во пространство F сходится просто на подмножестве А, плотном в шаре В, и если последовательность норм || fn II ограничена, то последовательность (fn) сходится при любом * е £ , и ее пре дельное линейное отображение непрерывно.
Пусть хо е В и хп е А таковы, что хп-*х0. Имеем
И/р(*о)— М *о ) І К І І fp(xo-xn) II + |
II fq(xn~xо) II + |
II fP{xn) - f q{xn)I K |
|
< |
2 M II xa— XnII + |
II fP(Хп) — fq (xn) ||. |
|
Так как fn сходится на А, то |
|
|
|
limII fp(xn) — fq{x„) || = |
0, |
|
|
P. Я |
|
|
|
и |
|
|
|
Пт II fp(хо) — f q (x0) IK 2MII x0 — xnII; |
|||
P, Q |
|
|
|
заставив n неограниченно возрастать, получим |
|
||
lim ||*о— *„11 = 0; |
|
|
|
з'начит, |
|
|
|
lim II fp (x0) — fq(x0) || = |
0, |
|
|
и стало быть |
|
0, |
|
lim II fp (x0) — fq (хо) II = |
|
||
чем устанавливается сходимость последовательности fn(x0) в F, поскольку F полно.
Если теперь х — произвольная точка из Е, а *о— центр шара В, то, выбрав надлежащим образом действительное а, получим
*о + |
следовательно, fn(xо + ах) |
сходится; но поскольку |
|
fn (х0 + ах) = fn(хо) + |
аfn(х), |
то отсюда вытекает сходимость последовательности f„(x).
Так как нормы ||Jn|| ограничены, то семейство функций fn
равностепенно |
непрерывно |
(теорема 1), |
и стало |
быть, его пре |
|
дел непрерывен |
(гл. VIII, |
раздел 1, § 2, |
п. 6). |
непрерывных |
|
Т е о р е м а |
3. |
Если (f„) — последовательность |
|||
линейных отображений банахова пространства Е в нормирован ное пространство F и если для любого х
lim II f„(x) ||< + оо,
то последовательность норм || f„ || ограничена.
352 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Числовые функции х —>|| fn (х) || |
непрерывны на |
Е, так как |
I II fn (x) II - II fn (x') II I < II fn (X ~ |
X') II < II fnIIII * - |
x' II, |
и их верхняя оболочка конечна. Следовательно, существует не
пустой |
шар |
В, на |
котором |
они |
равномерно |
мажорированы |
|
(гл. VIII, раздел 4, § 3, теорема 2) |
некоторым числом М. |
||||||
Пусть В — шар с центром в х0 и радиусом г. |
Тогда для лю |
||||||
бого X е |
Е, |
II X II ^ |
г элемент |
х + х0 |
принадлежит В, поэтому |
||
I fn (-т) I = |
I fn (х + Хо) — fn ( Хо) I ^ I fn {х + |
х0) I + I fn (ха) | ^ |
|||||
|
|
|
|
|
|
< M -fsup|f„(x -0)| = A41, |
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
и (/„) равномерно мажорированы некоторым числомЛ^на шаре ßi радиуса г с центром в 0.
Но
|
|
II М |
= |
sup |
II f„ (je) II, |
|
|
|
|
II ЛГIK1 |
|
и если г — радиус шара Ви то |
|
||||
II fnII= |
sup |
I fn(y) |
= у |
sup | | f „ ( x ) | | < M , / r |
|
|
II л: !l |
. . II |
V r ! |
r |
II jc |i< r |
|
II4-II < Г |
|
|
|
|
Из этой теоремы вытекает следующая важная теорема. |
|||||
Т е о р е м а |
Б а н а х а — Ш т е й н г а у з а . Если последователь |
||||
ность (fn) непрерывных линейных отображений банахова про странства Е в нормированное пространство F сходится просто, то ее пределом является непрерывное линейное отображение.
Действительно, если для любого х последовательность значе ний fn(x) сходится в F, то ||fn(*)ll сходится к конечному значе нию, и следовательно,
l i m Иfn(x) II < + о о ;
а в силу теоремы 3 нормы || /„ || ограничены, и значит, семейство fn равностепенно непрерывно; стало быть, отображение f= lim fn непрерывно.
§ 4. Примеры
Примеры, которые последуют ниже, представляют собой при меры пространств последовательностей действительных чисел, иллюстрирующие эту и предыдущую главы.
1. Пространство последовательностей действительных чисел.
Пусть 'S —действительное векторное пространство всех