Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

тегрируемых функций будет входить понятие простой сходимо­ сти почти всюду и понятие сходимости по норме. Понятие же измеримой функции связано только с простой сходимостью почти всюду.

Мы подчиняем наше изложение вопросам интегрирования. Критерии, позволяющие выяснить, будет ли функция интегрируе­ мой, приводятся достатсчно общие (ср. раздел 2, § 2, п. 1); из­ ложение понятия измеримой функции не требуется. Мы сме­ шиваем понятия интегрируемого множества (т. е. имеющего конечную меру) и измеримого множества, ибо практически измеримое не интегрируемое множество есть множество бес­ конечной меры.

Р А З Д Е Л I

ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ НА ПРОСТРАНСТВЕ РИССА

§ 1. Введение и отыскание исходных условий

Проблема интегрирования числовых функций ставится сле­ дующим образом. Задается множество £ числовых функций X, г/, ... переменного t, принадлежащего множеству А, и пред­ полагается, что интеграл определен для любого х е Е. Обозна­ чим этот интеграл через (лс); этот интеграл представляет ин­ терес только теми своими свойствами, которые выявляются уже в простейших случаях: например, в случае ступенчатых функ­ ций на R или непрерывных функций, обращающихся в нуль вне компактного множества (или компактного интервала). Алгеб­ раические свойства прежде всего предполагают, что Е — вектор­ ное пространство, и, кроме того, что р(х) есть значение линей­ ной формы ц на Е. Но, с другой стороны, на Е существует отно­ шение порядка, т. е. практически имеет смысл выражение х^О ; поэтому появляется еще одно свойство формы р: х ^ О ^ ф =$>р(х)^0; иными словами, р есть положительная линейная форма. Наконец, функция х интегрируема только в том случае,

о переходе к пределу. Это условие требуется тогда, когда хотят распространить понятие интеграла на числовые функции, не принадлежащие £. Пусть ставится задача определить интеграл

вать, будет ли последовательность х„ функций из Е сходиться каким-либо образом к f; но при этом требуется, чтобы интеграл р(хп) имел предел и если другая последовательность уп схо­ дится тем же способом к /, то чтобы р(г/п) имел тот же предел, что и р(хп); тогда полагаем

р ( / ) = limp(x„).

Но для того, чтобы все функции f снова составляли простран­ ство Рисса, необходимо, чтобы функция |/| тоже была интегри­ руемой.

На компакте такая сходимость, как равномерная, оказы­ вается слишком грубым понятием, ибо известно, что если исхо­ дить из интеграла от непрерывных функций, то мы не придем к множеству всех интегрируемых функций; если же исходить из ступенчатых функций на интервале [а, Ь] из R, то получим ярус­ ные функции, которые содержат непрерывные функции, но не содержат функций, о которых известно, что они интегрируются

элементарным способом.

Стало быть, следует обратиться к простой сходимости. Она также может показаться слишком грубой, поскольку интеграл от ступенчатой функции на [а, Ь] не меняется при замене значе­ ний функции в конечном числе точек. Однако, как мы увидим, этой сходимости достаточно. Итак, естественно сделать допу­ щение, что если хп сходится просто (а в этом случае и \хп \ схо­ дится просто), то р(хп) сходится, равно как и p(|x„|), к конеч­ ному значению. В частности, если х„ возрастает и сходится к функции /, предполагаемой интегрируемой, то, рассмотрев хп — / или f — хп, мы приходим к предположению, что если последо­ вательность хп функций из Е убывает и сходится просто к нулю,

то р.(Хп) стремится к нулю.

Этого условия достаточно для построения интегрируемых функций исходя из Е. В самом деле, из леммы Фату будет вы­ текать, что если последовательность положительных функций хп сходится (почти всюду) к функции f и если р(хп) имеет конеч­ ный предел, то f интегрируема. Предыдущее условие, обозна­ чаемое как аксиома (Д), будет формулироваться различным об­ разом, в зависимости от условий, налагаемых на пространство

Рисса Е.

Так, когда Е будет множеством непрерывных функций на компакте, аксиома (Д) будет эквивалентна, по теореме Дини, непрерывности р, если наделить Е топологией равномерной схо­ димости; это будет мера Радона. В том случае, когда Е будет

жены два важных теоретических примера; те же примеры, ко­ торые приводятся здесь, являются их частными случаями, но могут быть определены уже теперь.

быть, то же самое имеет место для р(х„) = хп (а) ; следова­ тельно, аксиома (У) выполняется.

Говорят, что эта мера определена посредством единичной массы, помещенной в точке а.

2) Пусть L1(N) — множество таких последовательностей х = = (Iи) действительных чисел, что

00

S1i l k К + 00.

Каждая последовательность х есть числовая функция, опреде­ ленная на множестве А — N, и Ll(N) есть пространство Рисса. Пусть р —линейная форма, определяемая равенством

о о

ц (*) = 2 U\ I

она положительна. С другой стороны, если (хп) — убывающая последовательность, сходящаяся к нулю, то это означает, что для любого k последовательность чисел (£„,*)„ убывает и стре­ мится к нулю; выбрав достаточно большое ш, так, чтобы

5 \ 1 п л \ < ф k=m-¥\

при любом п (что возможно в силу того, что хп убывает), по­ лучаем для достаточно больших п

m

2 I ln, k I < e / 2 k= i

и, следовательно,

| ц ( дс ) Кр ( | дс | ) < в

для достаточно больших n.

Итак, на Ll(N) определена положительная мера. Ограниченная мера. Если характеристическая функция с р А

множества А принадлежит Е, то мера р называется ограни­ ченной.