1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ |
373 |
Сужение меры. Пусть |
Е — пространство |
Рисса числовых |
функций, определенных на |
множестве А, и р — положительная |
мера; и пусть А' — подмножество множества |
А. Сужёния х' |
Функций л: из £ на множество/!' образуют пространство Рисса Е'
Сопоставим |
каждой функции |
/ е £ ' функцию } на А, |
полагая |
f ~ f на А', |
/ = 0 на А — А'. |
Полученное множество |
функций |
обозначим снова Е'. Предположим, что Е' есть подпространство пространства Е. Тогда можно рассматривать сужёние р' меры р на £', положив p'(x') = p(xr'); тем самым, очевидно, определена мера, называемая индуцированной мерой.
§ 3. Положительная мера на пространстве ступенчатых
функций
Пуёть |
А — заданное множество, Г — клан подмножеств X, |
Y, Z, ... |
множества А (гл. VIII, раздел 2, § 1); и пусть Е — мно |
жество ступенчатых числовых функций на А относительно Г. Множество Е является пространством Рисса и содержит харак
теристические функции фх множеств Х б Г . |
на £; так как |
Пусть р — положительная линейная |
форма |
каждое х е Е может быть записано в виде |
|
|
где Хі [) Xj — 0 , если і ф |
j, и где все а,- равны нулю, кроме ко |
нечного числа (или нуля) |
из них, то, положив |
р(фхг) = |
р(Х() |
для любого Хі е Г, получим |
|
|
|
Р (х) — 2 |
а , р ( ф х £) = 2 |
а / p (ХА. |
|
|
Те о р е ма . Для того |
чтобы положительная |
линейная |
фор |
ма р на пространстве Е ступенчатых функций на множестве А относительно клана Г была мерой, необходимо и достаточно, чтобы из условий
|
00 |
Я„е=Г, |
*„=>*„+„ Г \Х п= 0 |
следовало равенство |
Нт р (Хп) = 0. |
|
|
оо |
Иными словами, аксиома (У) |
|
Хп 4 0 ф р (хп) { О |
эквивалентна утверждению: |
|
00 |
Хпе э Хп+1> |
Хп= 0 Ф р ( Хп) I 0 . |
374 |
ГЛ . X . И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е |
Условие необходимо, ибо если р — положительная мера, то условие Хп го Хп+\ эквивалентно тому, что tp^ убывает, а
условие
оо
П1 Хп = &
эквивалентно тому, что
lim фХп(0 = 0
П-> оо
для любого і е Д ; следовательно, р(Хта) стремится к нулю. Покажем, что условие достаточно. Пусть (хп) — такая после
довательность элементов из Е, что хп ^ хп+і для любого п и
lim xn(t) — О
|
|
|
|
П ~ > с о |
|
|
|
для любого |
t ^ A . |
Пусть |
X — подмножество |
из А, на котором |
Хі(^)>0, |
и |
Л4 = |
тахл:і (t). Для |
е > 0 |
обозначим через Вп |
множество |
тех і е Д где |
xn{t) > |
е. Так |
как |
хп — ступенчатая |
функция, то Вп е |
Г и X —- Вп — С„ е Г. Тогда |
|
хп < Щ в п + ефс„;
поскольку р есть положительная линейная форма, то
р (хп) < Мр (Вп) + ер (Сп) < Мр (Вп) + ер (X).
Так как хп убывает и стремится к нулю и так как Вп есть множество тех t, для которых xn(t) > е, то П Вп = 0 ; значит,
p |
(ß n) стремится |
к нулю по предположению; следовательно, |
1 |
ітр (Х п Х ер(Х), |
чем доказано, что |
|
|
lim р (*„) = 0. |
|
|
П ~ > оо |
Теперь мы можем принять следующее определение.
Определение положительной меры на клане. Положительной мерой на клане Г подмножеств множества А называется отобра жение р клана Г в R+, удовлетворяющее следующим условиям:
1) |
Если І е Г , |
У е Г и Х()У = 0 , |
то |
|
|
p (*UT) = |
p (*) + |
p (T). |
2) |
Если Хс~Y, |
то р (X)s^ р (У) *). |
|
|
|
|
ОО |
|
3) |
Если |
XnZiXn+ 1 |
и f ] X n= 0 , то iimp(Xn) = 0. |
|
|
|
j |
П ~ > о о |
) Условие 2) следует из условия 1) и выделено для наглядности.
|
|
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ |
|
375 |
Говорят, |
что мера р ограничена, если А е |
Г, и значит, |
если |
р(Л) конечна. |
подмножество |
Х е Г , |
р(2Г) называется |
Каково |
бы ни было |
мерой, или |
интегралом |
подмножества |
X множества А, а |
само |
множество X называется измеримым, или интегрируемым.
Из предыдущей теоремы вытекает, что если для любой сту
пенчатой функции л: на Л вида |
х = 2 аіФл-г (Где |
попарно не |
пересекаются) положить |
|
|
Ц О) = 2 |
ЯгИ №)> |
|
то на пространстве ступенчатых функций будет определена по ложительная мера в смысле § 1.
Приведенное определение' (часто употребляемое) интересно тем, что оно исходит из более интуитивного понятия меры; усло вие 1) есть условие так называемой конечной аддитивности-, условие 2) есть условие возрастания, соответствующее включе нию. Однако важно показать, что условия 1) и 3) эквивалентны полной аддитивности, т. е. если счетное семейства попарно непересекающихся элементов Хп из Г имеет своим объединением некоторый элемент X е Г, то
со
|
д ( Х ) = 2 ц ( Х „ ) ; |
|
иными словами, |
|
|
/г=1 |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
Х = и * „ и |
ХгПХ/ = |
0 (і ^ |
/ ) 4 р (Х) = 2 |
й (Х„). |
В самом деле, допустим, что |
|
|
Xnzo Хп+] и |
П |
= 0 |
lim р (Хп) = |
О, |
Если Х = и^Гг^Г, |
то, |
положив |
|
|
Zn = X ~ ( ] X t,
1
получим ZnzDZn+l и f)Zn— 0 ; следовательно,
li(Z n) = p ( X ) - J { J X c
' I
стремится к нулю. Если, кроме того, Хі П Xs — 0 для і Ф /, и если допустить конечную аддитивность, то
} х ( и ^ ) = І р № ) .
со
Стало быть, ряд 2 ^ № ) сходится, и его сумма равна р(Х).
376 |
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
Обратно, допустим, что имеет место полная аддитивность (что влечет конечную аддитивность) и пусть имеется такое счет ное семейство Xit что
|
|
|
оо |
|
|
Xt =>Xt+i |
и |
f)X< = 0 . |
|
|
|
1 |
|
Пусть Yi — Хі — Хі+й имеем |
У, |
П Yj = |
0 , если і ф /, (J У* — |
— Хи и значит, |
|
оо |
|
|
|
|
Ряд |
|
|
1 |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 и (у<) |
|
сходится, и следовательно, |
|
|
|
|
lim 2 р ( У г) = |
0; |
но |
П~>°о п |
|
|
|
|
|
|
|
|
2м.(Уг) = Ц. |
(J Уі) = |
р (Хп), |
|
п |
\ „ |
|
|
и стало быть, р(Хп) стремится к нулю. Итак, можем сформулировать результат:
П р е д л о ж е н и е . Положительная мера на клане 1' опреде ляется отображением р клана Г в R+, удовлетворяющим сле дующим условиям:
1) если Л е Г , У е Г и X а К, то р (X) < р (У);
оо |
|
2) если Х„<=Г, J = ( J j „ e r |
и Х{(]Х, = 0 (і ф } ), то |
p (X) = 2 |
p (z „). |
I |
|
Пр и ме р ы . 1) На множестве А рассматривается клан, по рожденный разбиением множества А на одноэлементные под множества {/}; определяем меру, полагая р (0 ) = 0 и р({0) —
=1 для любого t е А.
Так, в случае A = N ступенчатая функция будет конечной
последовательностью х = |
(|&) |
(где \ъ. = 0, кроме конечного |
числа индексов) и р(*) = |
2£*- |
Построение пространства L1(N) |
по методу, который будет изложен в следующем разделе, при ведет к пространству L '(N) предыдущего параграфа (приме ры, 2)).
1. Ч И С Л О В Ы Е М ЕРЫ |
377 |
2) Рассмотрим на числовой прямой клан, порожденный ин
тервалами [а, Ь[, и определим меру, положив |
р([а,Ь[) = Ь — а. |
Тем самым мы определили меру Лебега. |
определить меру |
Вообще, исходя из того же клана, |
можно |
(которая будет изучаться в этой главе) |
посредством непрерыв |
ной слева возрастающей числовой функции f, если положить ц([а, b[) = f(b) — f(a).
Сужение меры. Пусть Е' — подпространство ступенчатых функций на множестве А относительно клана Г; можно снова, как и в предыдущем параграфе, рассматривать сужёние меры р, на Е'. Можно также рассматривать элемент І е Г и следы на X других элементов из Г; положим р*(У) = р(У) при Уе Г , У с Х ; тем самым будет определена мера pjr на ступенчатых функциях на X. Она называется индуцированной мерой.
§ 4. Положительная мера Радона
Во всем, что излагалось выше, множество А не предполага лось наделенным топологией. Если А —топологическое простран ство, то множество всех непрерывных числовых функций на А есть пространство Рисса. Но можно также получить простран ство Рисса, состоящее из непрерывных функций, так, что при этом рассматриваются не все непрерывные функции. Например, пространство Рисса образует множество Е непрерывных функ ций на R, обладающих тем свойством, что для любой функции
найдутся такие два числа а > О, М > 0, что при доста точно большом |/| выполняется неравенство \x{t) \ ^ M/ta+1.
Мы рассмотрим тот важный случай, когда А есть локально компактное топологическое пространство.
Пусть f есть функция, определенная на топологическом про странстве А и принимающая значения в векторном простран стве F. Носителем функции f называется замыкание в А множе ства тех t е А, для которых f(t) Ф О.
Если А не только локально компактно, но и компактно, то поскольку замкнутое множество в компактном пространстве компактно, всякая функция со значениями в F имеет компакт ный носитель. Если пространство А локально компактно, но не компактно, то для функции с компактным носителем существует компактное множество К, вне которого функция обращается в нуль. Обратно, если х — функция, равная нулю вне некоторого
компактного множества К, то |
ее носитель |
содержится |
в К‘, |
а так как носитель замкнут, то он компактен. |
|
функ |
Пусть теперь Ф — множество |
непрерывных числовых |
ций, определенных на локально |
компактном |
пространстве А и |
