Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 164

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

378 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

имеющих компактный носитель, или, что то же самое, обращаю­ щихся в нуль вне некоторого компактного множества (меняюще­ гося вместе с функцией). Это множество будет пространством

Рисса, ибо если

х е ® 7, г /е ®7, то х + г/е® 7 и Я хе® 7 (Я —

дей­

ствительное); а

так как

функция |х|

непрерывна и имеет

тот

же носитель,

что и х, то

|х|

е ® 7.

на Й7 положительную

Можно,

следовательно,

определить

меру, как в предыдущем параграфе. Важным является тот факт, что для такой меры аксиома {&) автоматически выполняется. Мы докажем следующую теорему.

Т е о р е м а 1. Любая положительная линейная форма на про­ странстве Рисса непрерывных числовых функций на локально компактном пространстве, имеющих компактный носитель, яв­ ляется положительной мерой.

Пусть А — локально компактное пространство, (х„)—убы­ вающая последовательность непрерывных положительных функ­ ций с компактным носителем, сходящаяся просто к нулю, и ц — положительная линейная форма на пространстве ®7непрерывных функций с компактным носителем. Надо доказать, что

lim р (х„) = 0.

П-> оо

Так как х„ ^ хп+х ^ 0 для любого п, то все носители функ­ ций х„ содержатся в носителе функции хх, который мы обозна­ чим через К.

Теорема Дини в применении к убывающей последовательно­ сти хп непрерывных функций на компакте К доказывает, что из простой сходимости к нулю последовательности х„ следует ее равномерная сходимость. Пусть для любого х е ® 7

IIXII = supt x(t) I,

т. e. норма равномерной сходимости. Тогда для предыдущей последовательности хп имеем lim ||хп|| = 0 .

С другой стороны, поскольку К — компактное множество в локальном компактном пространстве А, то существует компакт­ ная окрестность множества К, т. е. компактное множество К', содержащее открытое множество О, содержащее К\ Kcz О с: К'. Множества К и К' — О замкнуты в компактном пространстве К'\ по теореме Урысона найдется непрерывная функция и, прини­

мающая свои значения в [0,

1], обращающаяся в нуль на К' — О

и равная 1 на К. Положим

и = 0 вне О; тогда функция и не­

прерывна и имеет компактный носитель, а значит, принадле­

жит ®\

х„ ^ ||х„||м; а так как р — поло­

Таким образом, имеем 0 ^

жительная линейная форма, то

 

Р (.Хп) ^

II Хп II Р {Ц)>

откуда limp(*n) = 0 .

1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ

379

 

Тем самым теорема доказана. Но, кроме того, если

и

если К — носитель функции х, то найдется компакт / ( 'то К и не­ прерывная функция и, принимающая значения в [0, 1], равная нулю вне К' и равная 1 на К\ это снова дает нам

— IIX II X^ || XII«;

а поскольку р — положительная линейная форма, то

—IIXII р ( « X р (х) < II л II р (и),

или

I p W К IU IIp W -

Константа р (и), определяемая множествами К к К', а зна­ чит, множеством К, одна и та же для всех функций х, носитель которых лежит в К. Следовательно, если — подпространство непрерывных функций, носитель которых принадлежит компакт­ ному множеству К и если Я?к наделено нормой равномерной сходимости, то сужёние р на %?к есть непрерывная линейная форма.

Наконец, отметим, что верно и обратное, ибо если для любого выполняется неравенство | р(х) | ^ MK||x||, где Мк — постоянная, и если хп ^ 0 убывает и стремится к нулю, то ||х„||

стремится к нулю, а стало быть, и p(x„).

Таким образом, мы можем уточнить теорему 1 следующим образом.

Т е о р е м а 2. Пусть А — локально компактное пространство,

& (А )— пространство Рисса непрерывных

функций с

компакт­

ным носителем, к (А) — подпространство,

состоящее

из функ­

ций, носитель которых содержится в компактном множестве К. Всякая положительная мера на ff(A) есть положительная ли­ нейная форма, сужёние которой на 'ё’к(А), наделенное нормой

равномерной сходимости, непрерывно.

 

назы­

Определение.

Положительной мерой Радона на (А )

вается любая положительная линейная форма на Ч?{А).

мно­

З а м е ч а н и я .

1) Отметим,

что если

А — компактное

жество, то пространство &(А)

содержит

характеристическую

функцию фл множества А, поскольку фл есть непрерывная функ­ ция на А, имеющая носителем компакт А. Следовательно, если на ^(Л ) задана положительная мера Радона, то в силу компакт­

ности множества А для любого

x ^ W ( A ) будут выполняться

неравенства

 

\ х КII XII • Фа И I

р w К IIх IIР (фД

Говорят также, что мера ограничена, или, еще, что простраң* СТво А имеет ограниченную меру.

J X (0 / (0 dt,

380

ГЛ . X. И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е

Напротив, если А локально компактно, но не компактно, то

подпространство &к(А), вообще

говоря, не содержит cpK, ибо

фк не будет непрерывна на А.

 

2) Положительная мера на 'ё’(А), вообще говоря, не будет

непрерывной, если

наделить ^(Л )

нормой равномерной сходи­

мости, поскольку неравенство ||х(х)|

г£Г М||х|| верно не для всех

непрерывных функций с компактным носителем.

Пр и м е р ы . 1) Считая (как это

делается в элементарных

курсах), что на R определен интеграл от непрерывных функций на компактном интервале [а, Ь], полагаем для любой непрерыв­

ной функции с компактным носителем рі (лг) = J x(t)dt. Тем са­

мым определена положительная линейная форма на простран­ стве непрерывных числовых функций с компактным носителем в R, и если носитель функции х содержится в [а, Ь], то, в соот­

ветствии

с элементарными свойствами, получаем неравенство

м * ) | <

(Ь — а)\\х\\, где '

 

II X1= sup \х (t) |.

 

t

Таким образом, один из методов определения этой меры состоит в том, чтобы рассмотреть вначале элементарную меру на интер­ валах [а, Ь[, положив ц([а, b[) — b — а, а затем определить р(х), заметив, что х есть равномерный предел ступенчатых функций.

Это мера Лебега.

Эта мера не ограничена на' R, независимо от того, какую из двух точек зрения мы принимаем; ибо если взять клан Г, поро­ жденный интервалами [а, Ь[, где а и b конечны, то R ф Г, и когда мы строим интеграл от непрерывных функций, функция, рав­ ная 1 на R, оказывается неинтегрируемой; если же предполо­ жить известным интеграл от непрерывных функций, то, рассмат­

ривая

функции

х„,

определяемые

как

xn(t) = xn(—/), xn(t) =

= 1 — t/n, если

0 ^

t sg: п, xn(t)

= 0,

если

t ^ n ,

получаем

ix(x„) =

п I U J , и, следовательно, неравенство

| ц(*) | ^

М ||л:|| не

может выполняться для всех х с константой М, не зависящей

от X.

Пусть f — непрерывная

положительная функция с ком­

2)

пактным носителем на R (например,

f ( t ) — t(l — t) на [0,1],

f(i) =

0, если /^[0 ,1 ]). Для

любой

непрерывной функции х

рассмотрим

 

 

И- (х) =

в соответствии с предыдущим понятием интеграла. Имеем l n W K I U l l J f(t)dt.

Тем самым определена ограниченная мера.

 

 

I.

Ч И С Л О В Ы Е М ЕРЫ

381

3)

Пусть / — такая

непрерывная

положительная функция

на R,

что если [<|

достаточно

велико, то

f{t) ;g: М /|/|а+>, где

а > 0

(например,

f (^) =

 

1/(1 +

^2) ).

Для

любой непрерывной

функции X с компактным носителем полагаем

 

 

[і (х)= j x(t)f(t)dt.

 

Снова имеем такую меру,

что

 

 

 

 

 

\ц(х)

K I U I I J f(t)dt\

 

при этом интеграл берется от —с» до Ч-°°-

§ 5. Обобщение понятия меры

.До сих пор мы рассматривали лишь положительные меры на пространстве Рисса, т. е. положительные линейные формы, удов­ летворяющие аксиоме (У). Мы видели, что в случае непрерыв­ ных функций с компактным носителем эта аксиома (У) вы­ текает из теоремы Дини. Можно, следовательно, пытаться рассматривать на пространстве Рисса не обязательно положи­ тельные линейные формы, но удовлетворяющие условию непре­ рывности, которое заменит аксиому (У). Для этого требуется, чтобы пространство Рисса было наделено некоторой топологией.

Мы предположим, что пространство Рисса Е числовых функ­ ций наделено некоторой нормой (или полунормой), обладающей тем свойством, что если х ^ 0 и \у\ ^ х, то ||г/|| ^ ||х||. Мы по­ кажем, что если ц — непрерывная линейная форма на Е, то она представима в виде разности двух положительных линейных форм.

Прежде всего мы установим несколько лемм.

Для первой леммы не требуется, чтобы Е было простран­ ством Рисса, а требуется только, чтобы оно было упорядоченным векторным пространством, т. е. нужна прежде всего упорядочен­ ная группа по сложению (гл. II, раздел 2, § 6) и притом такая, чтобы внешний закон согласовывался с порядком, т. е. чтобы

для любого скаляра а > 0 выполнялось х

0 ф ах

0.

 

 

Л е м м а 1. Пусть Е — упорядоченное действительное вектор­

ное

пространство и

f — такая

числовая

функция

на

Е,

что

f(x +

y ) = f(x) + f ( y )

и что X ^

0 #>/(*)

0; joeda

f

есть

по­

ложительная линейная форма на Е.

 

 

 

 

Достаточно показать, что если а —действительное число, то

/(ах)

= а/(х). Но для любых х и у имеем

 

 

 

 

/(* + y) = f(x) + f(y).

Значит,

/(х + 0) = /(*) = /(х) + /(0),

Смотрите также файлы