Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Следовательно, по лемме 1, f — линейна.

Единственность формы f вытекает из того, что Е порождается своими положительными элементами (т. е. если известны поло­ жительные элементы из Я и если для х > 0 и у > 0 sup (х, у) е

Если найдется такая положительная линейная форма g, что g(x) > / ( х ) для любого xjJsO, то h = g — f будет также поло­ жительной линейной формой, и тогда f = g — h.

Так как / непрерывна, то

\ Ну ) \ < Щу \ \ ,

а если I у |^ х , то

|/(г/)|<У И ||х||.

Стало быть, можно рассматривать верхнюю грань чисел f(y) для всех тех у, для которых 0 ^ у ^ х. Пусть теперь

g(x) = sup f(y).

Так как /(0) = 0, то g(x), как верхняя грань чисел, содержащих нуль, положительно или равно нулю.

Следовательно, g (х) ^ 0 для любого х ^ 0. В силу леммы 2 остается доказать, что для х ^ 0, х' ^ 0

g (* + *') = £(*) + g(x').

Но

TO

?W + g M < g ( x + A

С другой стороны,

g ( x - f x ' ) — sup f ( у ) ~ sup (/(inf (x, у)) + f(y — in!(x, {/)))<

Но inf (*, г / Х X, а поскольку у — inf {х, у) = sup (*, у) — х, то

О < у' — inf (х, у') ^ х'.

Отсюда

g (х + * 'Х g (х) + g (x'),

и окончательно,

8 (х + x') = g (х) + g (x').

Наконец, форма g непрерывна, ибо определение формы g влечет

||*|| = sup| x(t)\

tf = А

(норма равномерной сходимости), то непрерывная линейная форма ц на Е является разностью двух положительных линей­ ных форм, и значит, двух положительных мер.

Поэтому в этом случае мерой (или мерой Радона) назы­ вается любая непрерывная линейная форма на этом простран­ стве, наделенном нормой равномерной сходимости.

Р А З Д Е Л 2

ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА 2

Пусть Е — пространство Рисса числовых функций, опреде­ ленных на множестве А, и ц — положительная мера на Е.

Каждому х ^ Е поставим в соответствие ||*|| = ц( \х \); тем самым на Е определена полунорма, так как ц есть положитель­ ная линейная форма. Пополнение пространства Е по этой полу­ норме является пополнением полунормированного пространства Рисса при помощи положительной линейной формы; оно обла­ дает свойством, доказанным в главе VIII. Для построения по­ полнения требуется лишь свойство формы ц быть положительной линейной формой: Но, как мы уже объясняли во введении, чтобы отождествить пополнение пространства Е с пространством 9? числовых функций, необходимо использовать аксиому 3. (Мож­ но даже в процессе доказательства заметить, что аксиома (3)

386 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Итак, монотонная последовательность Коши в Е есть моно­ тонная последовательность, все интегралы которой ограничены.

Обозначим для такой последовательности через е множество (которое может быть пустым) тех і е Л , в которых последо­ вательность хп не сходится (в смысле простой сходимости), т. е. для любого і е е с Л имеем

lim \x n{f) 1= + оо. п-»°°

Определение. Пренебрежимым множеством называется лю­ бое подмножество множества е, обладающего тем свойством, что существует монотонная последовательность Коши из Е, не схо­ дящаяся на этом подмножестве в смысле простой сходимости.

2. Выражение «почти всюду». Когда некоторое свойство или соотношение, относящееся к функциям со значениями в R, будет иметь место для любого і ^ А , кроме, быть может, пренебрежимого множества, то мы будем говорить, что свойство или соот­ ношение справедливо почти всюду. Если требуется уточнить, что речь идет о мере |х (например, в случае, когда в рассмот­ рение входят несколько мер), то мы будем писать р-почти

говорить, что они равны почти всюду, и записывать

Это отношение есть отношение эквивалентности между функ­ циями со значениями в R. Точно так же вводятся отношения

Что касается суммы h -f g, то мы предположим, что эта сумма имеет смысл всюду, кроме, быть может, пренебрежимого мно­ жества е; если же для і е е сумма h(t) + g ( 0 не определена (скажем^ h (t)'= +°°> g(t) = —оо), то мы придадим ей по со­ глашению любое значение.