Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 150

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

414

ГЛ . X .

И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е

 

неравенство

Минковского.

Буквы р и q означают числа

^ 1,

удовлетворяющие условию

(\ jр ) Iq) = 1, откуда q — 1

=q/p,

р— 1 = plq. Когда одно из чисел р, q может принимать значение

+°о, другое принимает значение 1, и это может быть указано,

например, в виде неравенств: 1 ^ р ^

+°°-

Неравенство Минковского позволяет доказать, что

IU ІІР = ( J I * (t) Г rf|i),/P =

(|i(U П)1/р

есть полунорма, а неравенство Гёльдера позволяет доказать, что

если f е З ’р, g е 2

>д, то fg е 3?.

 

1. Неравенство Гёльдера. Рассмотрим действительную функ­

цию ср

действительного переменного / ^

О, определяемую как

t-+ ta,

где 0 ^ а ^

1. Так как функция

—ф выпукла, то запи­

сывая,

что в R2 касательная в точке (1, 1) к графику функции ф

лежит выше этого графика,

получаем

 

 

 

^

at + 1 — а

 

или, положив ß = 1— а, а значит, a + ß = 1, получаем

ta< at + ß.

Если а и 6 — положительные действительные числа и b Ф 0, то замена t на а/b дает

аа I ba ^ a a /b + ß или

aabl ^ аа +

ßö,

и

 

 

ab < аа'і* + ßö1^, 0 < а < 1 ,

0 < ß < l ,

ct + ß = l .

Последнее неравенство верно и при 6 = 0.

Если х,у — положительные числовые функции произвольного

переменного t, то для любого t имеем

 

 

 

 

X(t) y( t ) < а (х (0)‘/а +

ß(y (0)',р;

 

 

следовательно,

ху ^

ах1,а+ ßyllP'

 

 

 

 

 

 

Положим а =

\/р, ß =

\/q, и предположим,

что 1

р < оо,

1 ^ q <

о Пустьо .

Е — пространство

числовых

функций, пред-

.ставляющее собой такое упорядоченное действительное вектор­ ное пространство, что если х <= Е и у <= Е, то ху е Е, и такое, что

если X ^ 0 и X е Е,

то для любого конечного действительного

т ^ 1 имеем хт ^ Е .

Пусть, наконец, рі — положительная линей­

ная форма на Е,

 

5. ПРОСТРАНСТВА g P

415

Из неравенства

хР

+ *ч-

выводим

И (ху)

(хр) + J H (yq).

Пусть ц(хр) фО, р(уч) ф 0. Заменяя х на

X

~(р(*р))1/р~'

а у — на

у

(1* (у)4)114 ’

получаем неравенство Гёльдера:

Іі ( х у ) ^ ^ ( х р))1,р-(ц (y4))l,q.

Если p(xP) = 0, то множество е — {t: xP(t) ф 0} — {t: x(t) ФО}

есть множество меры нуль. Действительно, монотонная последо­

вательность

фn(t) =

n-xP(t)

есть возрастающая

последователь­

ность

и

р(фп) = п \х (х р ) = 0, т.е.

(фл) — последовательность

Коши

в

Е\

так как

фn(t)

сходится

(к нулю)

при І ф е и не

сходится при І е е , то е — пренебрежимое множество. Тогда мно­ жество е\ = [t : x(t)y(t) Ф 0} содержится в пренебрежимом мно­

жестве е и поэтому пренебрежимо;

поэтому

ху =

0 р-почти

всюду, р (ху) =

р (0) =

0, и неравенство

0 =

р (ху) <

р (л:р)І/р X

X р (yq)'lq= 0

очевидно. Если

р(г/«) = 0, то

неравенство Гёль­

дера доказывается аналогично.

 

 

 

 

 

Если положить

 

 

 

 

 

 

 

\)х\\р =

(у(х’1))ХІР,

II у \\q =

(р (yq))ilq,

 

то неравенство Гёльдера принимает вид

 

 

 

ІІ* іН Іі< ІІ* У У%’

(1/р) + (1/<7)=1,

1< р ,

q < + o о.

З а м е ч а н и я . 1) Это неравенство можно применять к абсо­ лютным значениям числовых функций, когда эти абсолютные значения принадлежат Е.

2) Неравенству Гёльдера можно придать несколько более об­ щий вид, поступив следующим образом: пусть р, q — конечные числа 5* 1, и г таково, что 1/г = (1/р) + (1 /<7). Следовательно

(r/p) + (r/q) = 1, и

р ( ^ ^ ) < ( р ( х ) ) г/р(р(г/))^;

416

ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

заменяя х на хр, у на yq и возводя в степень 1/г, получаем

( n W ) ) ,/r/<(n.(*',))I/p( i i W ft,

или

II ху І К II X Ир • II у II,.

2. Неравенство Минковского. Пусть 1 ^ р < +оо; для любых положительных чисел а, b имеем

(а -}- Ь)р = а (а -f- Ь)р_1 + b (а + Ь)р~1.

При тех же условиях, что и выше, переходя к положитель­ ным функциям и пользуясь линейной формой р, получаем

м- (О + y f) = р (х (х + у)р~1) + р (у (х + у)р~1);

применяя к каждому члену правой части неравенство Гёльдера, приходим к неравенству

Р ((* + У)р) <

< (р (хр))ІІР ■(р ((X + y f~ " Р)У14+ (р 0f) ) " p(р ((X + y f - " Т ч,

где (l/p) + (1/q) = 1. Но q (p — l) = p; следовательно,

Р ((JC + */)р) < (р (*р))І/р ((Р ((X + У)Р)УІР)РМ+

+ (р(Л )1/р((р((* + У)Р))1/р)Р/^

((Р ((* + У)Р)УІР)Р < ((Р ((* + р)р)),"’)Р/‘7 «Р (*Р))'/Р + (р (УР))1ІРУ,

а так как р — РІЯ — 1, то получаем неравенство Минковского:

(р((л: + г/)р))І/р<(р(Агр))І/р + (р(г/р))І/р,

1

< + °°-

В тех же обозначениях, что и выше, записываем:

Н* + гН|р<іі*іір + іШір.

§ 2. Построение и свойства пространства £бр < -ф оо)

Рассмотрим снова пространство Рисса числовых функций на

А и введем следующее дополнительное условие: х ^ Е = ^ |д:|г> (= е Е для любого конечного числа р ^ 1.

(Это условие выполняется, если Е — пространство ступенча­ тых функций на клане или пространство непрерывных функций с компактным носителем, когда А — локально компактное про­ странство.)

Если р.— положительная линейная форма на Е, то

II * Нр = (Р ( I * П )1/р

есть полунорма на пространстве Е: наделенное этой полунормой, пространство Е обозначается через Ер.

 

5.

ПРОСТРАНСТВА g P

417

 

 

 

В самом деле, очевидно || О IIР = О, и для любого действитель­

ного

а имеем ||са||Р = |а | ||х||Р. Согласно неравенству Минков­

ского имеем

 

 

II * +

У ІІр =111 * + У III, <111

-VI + ] У \ % <111 X ІИ, -НИ у ІИ, =

т. е.

 

 

“ IIх Ир + 11У IIр,

 

 

 

 

ІІ* +

г/ІІр<ІІ*ІІР + ( №

 

1. Пренебрежимые множества. Для построения пространства 5?ѵ поступаем как и во втором разделе: рассматриваем числовые функции со значениями в R, являющиеся почти всюду простыми пределами последовательностей Коши из Е р . Н о выражение «почти всюду» относится к пренебрежимому множеству, опреде­ ляемому при помощи монотонной последовательности (х п) функций из Е, причем эта последовательность есть последова­ тельность Коши относительно нормы пространства Е р \ необ­ ходимо исследовать, будут ли пренебрежимые множества одни и те же для всех пространств S?p, и л и нет.

Пусть х„ — монотонная последовательность положительных функций из Е р , удовлетворяющая условию

lim

II хт — хп ||р=

0.

Так как

 

 

 

I II %тlip

II

%пlip I ^ II %т %пІ1р>

го последовательность

(Цхп\\р) п сходится,

и значит,

 

+

((ХпП

 

имеет конечный предел, и то же самое имеет место для ц((х„)р), С другой стороны, если (хп) возрастает, то ( ( х „ ) р ) п тоже воз­ растает, и обратно (ибо действительная функция t —>tP возра­ стает при р ^ 0). Таким образом, если (хп)— монотонная после­ довательность Коши в Е р , то {хп)Р есть монотонная последова­ тельность Коши в ЕК А так как

lim хп(t) — + ° ° 4

$

lim (хп(t))p = + оо,

П->оо

 

п со

то отсюда следует, что всякое множество точек из А, на кото­ ром монотонная последовательность Коши из Ер не сходится в R, есть пренебрежимое множество в смысле, определенном первоначально во втором разделе. Отсюда получаем пред­ ложение.

П р е д л о ж е н и е 1. Пренебрежимые множества являются одними и теми же для всех пространств Е р ,41

14 М. Заманский

418 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

2. Построение и основные свойства пространства Sßp• Доказа­ тельство, позволяющее построить SE исходя из Е, годится без

изменений и для построения

пространства 3 ? р . Пространство

3?ѵ есть множество числовых функций со значениями в R, яв­

ляющихся пределами почти

всюду последовательностей Коши

из

Ер. Обозначим через Lp

факторпространство пространства

3 ? р

по отношению эквивалентности

fr s .8 .

Пространство Lp отождествляется, при помощи теоремы об ин­

тегрировании,

с пополнением пространства Е р , и м ы

получаем

следующий результат.

 

 

Т е о р е м а

1. Пространство 3 ?р , наделенное полунормой

 

и а = 0 * 0 / п ) і/р,

 

полно-, пространство 3 ? р есть банахово пространство-,

Е плотно

в Lp.

2. Если (fn)— последовательность Коши в 9 ? р , то

Т е о р е м а

существует такая функция f

е 2 ? р , ч т о

 

 

l i m

II /» — /11 = 0,

 

 

П->оо

 

 

и такая подпоследовательность (f„k) последовательности (fn), что:

а) Ii\\fnk+1- f 4 \\p < + °°;

оо

б) ряд 2 (/n fe+1(0 — fnk Щ абсолютно сходится почти всюду,

и его сумма равна почти всюду функции /.

функций из Е.

Пусть снова имеется последовательность (хп)

Из неравенства \ \х т\—| хп 1 К / хт— хѣ| получаем

затем

I I хт I

I хп I |Р ^ I хт хп Г >

 

 

 

 

 

Ѵ І \\ хт I — I Хп | П < Ц ( | Хт — Хп П ,

 

и, возводя в степень 1/р, получаем

 

 

III Хт I

1 Хп l i r < I U m

— Хп\\р.

 

Если (хп) есть

последовательность

Коши в

Ер, то (|xn |)

_ также, а значит,

и х+ и х~. Следовательно/

 

и, стало §ыть,

/ е

2?р=^>| / | е 2!р,

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы