Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 0
|
і . И З М Е Р И М Ы Е М Н О Ж Е С Т В А |
411 |
|
объединение всех Хі, покрывающих е и таких, что 2 ß (Xt) < |
ek. |
||
Имеем |
р(У*)<Вл, |
e c z Y k, |
|
и значит, |
|
||
|
|
|
|
|
e c f ] Y k = Zn. |
|
|
Но так как Z„ а |
Yn, то |
|
|
|
Р (Хп) ^ ß (Уп.) <~е«' |
q>Zn тоже убывает; |
|
Более того, Z„ |
убывает. Следовательно, |
ее |
|
интеграл p(Z„) |
стремится к нулю; стало быть, это есть убываю |
||
щая положительная последовательность Коши, интеграл кото рой стремится к нулю, и значит, по теореме об интегрировании,
Фzn |
сходится к нулю всюду, кроме пренебрежимого множества |
||
е'. |
Следовательно, |
limcpZn(/) = 0, если t&e', и \\m yZn{t) = \, |
|
если l e e ', |
поскольку ф принимает лишь значения 0 и 1. А так |
||
как |
фе сг фz |
, то |
фе ^ фе/, и стало быть, е er e'. Множество е |
является подмножеством пренебрежимого множества е', и зна чит, само пренебрежимо. Итак, резюмируем.
Те о р е ма . Если пространство Рисса ступенчатых функций на А относительно заданного клана Г наделено положительной мерой (положительной линейной формой, удовлетворяющей ак сиоме (У)), то имеется тождественное совпадение между пренебрежимыми множествами и множествами меры нуль.
§ 3. Случай меры Радона
В этом параграфе А — локально компактное пространство, а Е — множество непрерывных функций с компактным носителем. Как только построено пространство 5?, то мы приходим, в силу того, что А — топологическое пространство, с одной стороны,— к формулированию некоторых результатов на языке непрерыв ных функций, или полунепрерывных, или любых других, а с дру гой,— к исследованию вопроса о том, будут ли измеримы эле ментарные топологические множества (открытые, замкнутые, компактные...).
Таким образом, во второй части функции х, хп, ... являются непрерывными функциями; значит, пренебрежимое множество есть множество точек t, в которых монотонная последователь ность хп непрерывных функций с компактным носителем, имею щих ограниченные интегралы р(хп), не сходится просто в /?; а так как предел монотонной последовательности непрерывных функций есть полунепрерывная функция, то предложения 3 и 4 (раздел 3, § 3, п. 4) могут быть сформулированы на языке полу непрерывных функций. В частности, заметим, что функции гп из
412 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
предложения 3 и г из предложения 4 являются полунепрерыв ными сверху и имеют компактный носитель, поскольку каждая из функций zm и z положительна и является пределом убываю щей последовательности непрерывных функций с компактным носителем.
Однако, когда хотят исследовать, будет ли любое открытое или любое компактное множество измеримо, сталкиваются с той трудностью, которую мы изложим, прежде чем накладывать упрощающее условие на локально компактное пространство А. Остановим наше внимание на компактных множествах. Пусть К — компактное множество и фя — его характеристическая функ ция; если фя ^ &, т. е. если К измеримо, то поскольку каждая непрерывная функция с компактным носителем может быть рав номерно приближена ступенчатыми функциями на некотором клане, содержащем компактные подмножества (гл. VIII, раз дел 2, § 2), можно также определить пространство і?, исходя из меры на клане, содержащем компактные подмножества. Условие для подмножества из А быть открытым или замкнутым выра жается при помощи полунепрерывности его характеристической функции (гл. VIII, раздел 4, § 2).
Таким образом, мы пришли к исследованию вопроса о том, интегрируема ли полунепрерывная функция (которая здесь при нимает только значения 0 и 1). Если К компактно в локально
компактном, но не компактном пространстве А (если |
А ком |
|||
пактно, то фл непрерывна, имеет компактный носитель, |
и ф к ^ |
|||
Фа ), то К обладает компактной окрестностью. Следовательно, |
||||
найдутся компактное множество К' |
К и непрерывная функция |
|||
X, обращающаяся в нуль вне К', равная 1 |
на К и принимающая |
|||
значения между 0 и |
1 (гл. VIII, раздел |
4, § 4). Стало быть, |
||
фЯ ^ X . |
(в силу п. 2, § |
1, раздел 4), для всех не |
||
С другой стороны |
||||
прерывных функций X |
со значениями |
в [0, 1] и с носителем, со |
||
держащимся в К, подмножества Ха из Л, на которых x ( t ) > а или x ( t ) < а, измеримы. Отсюда следует, что если
К = fU a>
а
то К является также пересечением счетного семейства измери мых открытых множеств, и стало быть, измеримо.
Для простоты мы ограничимся здесь случаем, когда А — ло кально компактное метрическое пространство (пример: Rn).
В этом случае всякая полунепрерывная функция служит оболоч кой счетной последовательности непрерывных функций, и зна чит, всякое компактное множество измеримо, равно как и всякое открытие множество, замыкание которого компактно (т. е. от крытое множество, которое содержится в компакте) .
5. ПРОСТРАНСТВА & Р |
413 |
|
Тогда предложение 4 (раздел 3, § 3, п. 4) получает важную формулировку (относительно которой доказывается, что она вер на в случае, когда А локально компактно).
Те о р е ма . Для того чтобы множество X было интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовали интегрируемое открытое множество О и компактное множество К, удовлетворяющие условиям:
K c z X c z O и р ( 0 — К ) - р ( О ) — м (Ю < е.
Р А З Д Е Л 5
ПРОСТРАНСТВА & р
В этом разделе речь идет о числовых функциях, для которых интегрируема p-я степень их абсолютной величины, где р — ко нечное действительное число, р ^ 1. Простые примеры показы
вают, что если f ^ S , то может оказаться, что \f\p ^ S |
(при |
||
мер: на интервале [1, +°о[, |
наделенном мерой Лебега, f ( t ) = \/t |
||
и /7 > 1); |
что если f ^ S , |
то может оказаться, что |/| p <£S |
|
(пример: на интервале ]0, |
I], наделенном мерой Лебега, |
f(t) = |
|
= 1/t'b и р |
2). |
|
|
Важность этих пространств проявляется, в частности, в слу |
|||
чае р — 2, |
ибо в этом случае для функций f <= S 2 и g e S * 2 их |
||
произведение fg принадлежит S , хотя может оказаться, что сами функции / и g не принадлежат S . Построение и изучение пространств S v основано на неравенствах Гёльдера и Минков ского, изложению которых и будет посвящен первый параграф.
С другой стороны, в этом разделе излагаются лишь новые факты, поскольку построение пространства S p (точно так же как и построение пространства S p для функций со значениями в банаховом пространстве) могло бы быть изложено без изме нений во втором разделе; и только важность интегрирования чис ловых функций влечет повторения.
Один параграф отводится пространствам S°° и Ь°°. Отметим, что в этом разделе буквы р и q будут всегда изо
бражать числа удовлетворяющие условию (l/p)-f (\fq) = 1, и никогда не будут использоваться в качестве индексов для элементов множества. Наконец, мы будем иногда вместо S писать S 1.
§ 1. Неравенства Гёльдера и Минковского
Неравенства Гёльдера и Минковского принадлежат к катего рии неравенств, называемых неравенствами выпуклости, по скольку при их получении рассматриваются выпуклые функции. Мы докажем неравенство Гёльдера, а затем выведем из него