Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

интегрируемости постоянных функций). Если, при этих условиях, fn равномерно сходится к /, то (fn) есть последовательность Коши в топологии равномерной сходимости, и значит, для лю­ бого е > 0 имеем: \fp(t) — fg(t) | < е для р ^ Р ( е ) и q ^ P ( e ) ,

где Р — надлежащим образом выбранное целое число, не зави­ сящее от t. Но неравенство \fP(t)— fq(t) | < е при любом t экви­ валентно неравенству |/Р — /д|< еф л , которое влечет

ц(.І fp — fq \ ) < W (Фл)-

Поэтому (/„). является последовательностью Коши также и в 9?.

нечна (или что мера р ограничена). Таким образом, можно сформулировать предыдущий результат следующим образом:

если мера ограничена, то равномерно сходящуюся последова­ тельность функций из 9? можно почленно интегрировать.

Р А З Д Е Л 4 ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА

Для любого подмножества X множества А через фх обозна­ чается характеристическая функция, т. е. функция от t, равная 1, если ( е І, и 0, если t ф X.

По отношению к операциям алгебры множеств характеристи­ ческие функции обладают следующими свойствами:

§I. Общие определения

1.Определение измеримого множества. Говорят, что подмно­ жество X множества А измеримо (или интегрируемо) относи­

Отметим, что А измеримо в том и только том случае, если ненулевая постоянная функция на А принадлежит £ .

2. Измеримые множества, определяемые при помощи инте­ грируемой функции. В самых общих случаях измеримые множе­ ства получают путем рассмотрения подмножеств из А, на кото­ рых интегрируемая функция / принимает значения, превосходя­ щие заданное число а. Иными словами, если Ха — подмножество из А, на котором, скажем, / ( / ) > а, то показывается, что харак­ теристическая функция Фха принадлежит £ , когда [ е й 1.

Если это так, то можно показать, что множество точек t, в

f„ = inf(n(f — inf (/, <Хфл)), фл).

Так как inf (/, афл) ^ f, то

f — inf (/, афл) > 0;

значит, функции

n ( f — inf (/, афл))

образуют возрастающую последовательность, и то же самое бу­ дет верно для fn- Если в некоторой точке t будет f(t) > а, то

inf (f (t), афл (t)) = inf (f (t), a) = a;

но /(£) — a > 0, и значит, n(f(t)— a) стремится к бесконечности вместе с п, а стало быть, начиная с некоторого значения п, имеем

МО—Фл(0 —1.

Когда мера не ограничена, тот же результат получают, пред­ положив, что если / e S 1, то inf(f, фА)е.£?.

Для того чтобы выполнялось последнее условие, можно вве­ сти на множестве Е рассматриваемых первоначально функций следующее условие: пространство Рисса обладает тем свойством,

вающая последовательность измеримых множеств и если мно­ жество П Хі пренебрежимо, то p(Kj) стремится к нулю.

3) Множество измеримых подмножеств образует клан, и век­ торное пространство, порожденное характеристическими функ­ циями, есть пространство ступенчатых функций на этом клане.

§ 2. Случай меры на клане

Когда задается множество Е ступенчатых функций на А "от­ носительно клана Г, то для построения пространства 3? доста­ точно наделить пространство Рисса Е положительной мерой ц. Но положительная мера р удовлетворяет аксиоме (3), которая эквивалентна аксиоме (З'), и пренебрежимое множество опре­ деляется при помощи монотонных последовательностей из Е.

Но понятие пренебрежимого множества, котрое было введено в первых же современных изложениях теории интегрирования и которое является понятием множества меры нуль, использует покрытие элементами, рассматриваемыми как измеримые. На­ пример, если элементам клана Г приписать меру в элементарном смысле, то множество е меры нуль будет определяться следую­ щим свойством: для любого е > 0 существует покрытие множе­ ства е не более чем счетным числом множеств Хіу для которого

2 Ц № ) < е. После этого можно определить выражение «почти всюду» относительно этого понятия множества меры нуль, а за­ тем построить 2?. Цель настоящего параграфа — уточнить связи, существующие ме^кду этими понятиями.

1. Свойства пренебрежимых множеств. Пусть Г — клан на А,

Е — пространство Рисса ступенчатых функций на А относитель­ но Г и (X— положительная мера, т. е. положительная линейнаң

форма, удовлетворяющая аксиоме (£/): если хп убывает и схо­ дится просто к нулю, то р(хп) стремится к нулю. Для любого элемента J e Г полагаем ц(фх) = p (J). Докажем следующее предложение.

П р е д л о ж е н и е . £слн е — пренебрежимое множество, то для любого е > 0 можно покрыть е конечным или счетным се­

чатых функций (которые можно предполагать положительными),

U*»(а),

П

ибо в такой точке t начиная с некоторого значения л, имеет ме­ сто неравенство xn{ t ) ^ a . Так как J n(a)ci J n+i (а), то рассма­

тривая, например,

Yn = Xn+l(a)-Xn(a),

получаем семейство элементов клана Г, покрывающих е\ а так как

І р ( П ) = ц(Х„+І(а))<М/а,