Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5. ПРОСТРАНСТВА 3 ? Р

419

 

Обратно, если f+^ S p и f~ е S p, то

 

f = f+ — Г < = 3 £ р .

 

Итак, получаем следующий результат (справедливый для числовых функций как с конечными значениями, так и с беско­ нечными) .

П р е д л о ж е н и е 2. Для того чтобы f ^

S p, необходимо и

достаточно, чтобы f+и f~ принадлежали S p.

Обратимся к основ­

3.

Последовательность функций из

ным результатам из § 3 раздела 3.

Они остаются справедливыми, если сопроводить их несколь­

кими замечаниями.

Если

(/„) — последовательность в S

p,

то

последовательность

(fn) v

можно рассматривать лишь в

пред­

положении

^ 0.

Говорить о почленном интегрировании

по­

следовательности из S p нельзя, поскольку элементы из S p могут не принадлежать S , но можно найти критерии, утвер­ ждающие, что предел (в некотором смысле) последовательно­ сти функций /„ е S p есть функция / <= S p.

Если (/„) — возрастающая (или убывающая) последователь­ ность, состоящая из положительных функций пространства S p, то последовательность (fn)p тоже возрастает (или убывает). Если последовательность (fn), кроме того, является последова­ тельностью Коши в S p, то это будет равносильно утверждению, что

lim Иfn — fmUp = 0,

rt-> o o , m - > со

откуда слерует, что последовательность (|| fn II Р) п норм сходится

(в силу неравенства | IWI — \\у\] | ^

||х — у\\), а

значит, последо­

вательность (ц((/п)р) ) 1/р ограничена, или,

что

сводится к тому

же, ограничена p((fn)p)-

0, что

последовательность

Обратно, предположим, что fn ^

(fn) возрастает и что последовательность p((fn)p) ограничена. Так как f„ — положительная возрастающая последовательность, то последовательность (fn)p возрастает, и стало быть, p((fn)p) тоже возрастает, и значит, сходится к конечному значению. Сле­ довательно,

lim № ) P) - P ( ( f m)p)) = 0.

rt~»oo, m -> оо

Но для чисел а ^ - Ь ^ - О и р ^ - І имеем

(а - Ь)р< ар - Ьр.

В самом деле, для b — 0 это очевидно. Если же b Ф 0, то по­

лагаем a/b = t ^ 1; тогда речь будет идти о доказательстве того, что

Ф(0 = ^ — 1 — (/ —

14’

420

ГЛ.

X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

но производная от <р равна

 

Dy (t) =

р (tp~l — (/ — 1 )р_1) ^ 0;

значит, ф возрастает для t ^ 1; а поскольку ф(1) = 0 , то ф(^) ^ 0

для t ^ 1.

 

 

 

 

(при

Это неравенство в применении к числовым функциям

условии, что функция а

будет

^

Ь) и в

предположении,

что

fn Ф fm при n ^ zm , дает

 

fmY < (fn)p -

 

 

\fn — f m f =

(fn -

(fmY,

 

откуда вытекает, что

 

 

 

 

 

lim

ц(1 fn —

fm\p) =

0

 

n->oo, m->oo

ичто, следовательно, fn есть последовательность Коши в g p. Итак, получаем результат, аналогичный теореме Б. Леви.

П р е д л о ж е н и е

3. Пусть

(fn)— возрастающая последова­

тельность функций

^

0 из g p

и f — предельная функция. Для

того чтобы f f= g p ,

необходимо и достаточно, чтобы последова­

тельность ц((/п)р) была ограничена.

В действительности этот критерий лучше формулировать сле­

дующим образом

(целесообразность

чего выяснится

в следую­

щем параграфе).

 

3'. Для того

чтобы возрастающая по­

П р е д л о ж е н и е

следовательность

(fn)

положительных функций из g p

была по­

следовательностью Коши, необходимо и достаточно, чтобы после­ довательность (f„)P была последовательностью Коши в g x.

В отношении теоремы Лебега, (раздел 3, § 3) заметим сле­ дующее: поскольку

f e = 2 p = $ \ f \ t = & p,-

то можно снова использовать оболочки семейств функций из g p. Тогда доказательство проходит, и мы получаем теорему.

Т е о р е м а Л е б е г а . Пусть (fn)— последовательность функ­ ций из gP, сходящаяся почти всюду к функции /; предположим,

что существует такая

положительная

функция g е g p , что

1fn I <

g при любом п.

Тогда f <= g p ,

и \\fn — f\\p стремится

П .

В .

 

 

к нулю.

§ 3. Соотношения между пространствами j £ p ( \ < + °°)

В этом параграфе будут найдены свойства пространств gp, выраженные посредством пространства g x, а также два случая

-включения относительно пространств g p .

Напомним

1. Свойства пространства

относительно

результат, полученный в предыдущем параграфе

(предложе­

ние 3').

 

 

5.

П Р О С Т Р А Н С Т В А <£Р

421

П р е д л о ж е н и е 1.

Для того чтобы возрастающая последо­

вательность (fn) положительных функций из 9?ѵ была последо­ вательностью Коши, необходимо и достаточно, чтобы последова­ тельность ((fn)p)n была последовательностью Коши в S 1.

Пусть теперь имеется положительная функция f е 3?т>. Так как / определяется при помощи двойного перехода к пределу через монотонные последовательности (ср. функции ym,n, zm>n из раздела 2, § 2), то применение последнего предложения вле­ чет, что р б І ’1. Обратное доказывается тем же способом. От­ сюда получаем предложение.

П р е д л о ж е н и е 2. Для того чтобы положительная чис­ ловая функция f принадлежала S p,необходимо и достаточно,

чтобы fp

принадлежала S 1.

 

 

 

 

 

 

=#>

Это предложение в соединении с тем фактом, что f е S p =$>

I f l ^ . é ’P, в итоге записывается следующим образом:

 

 

 

 

/ s 2 Р=$\ f I s 2 Р& \ f f е= SK

 

 

 

2. Соотношение между пространствами

и

(1 < р ,

9 <

+

о о ,

( 1 / р ) + (1/<7) = 1 ).

Для

построения

простран­

ства

S .p

мы накладывали на исходное пространство

Рисса

Е

дополнительное условие, состоящее

в

том,

что если

р ^ 1

и

X <= Е, то

|*| Р<= Е.

 

каковы

бы ни были х ^ Е

 

Мы добавим еще одно условие-,

и у е £ , имеем ху е Е. (Это условие снова выполняется в двух основных и наиболее употребительных случаях: ступенчатых функций на клане и непрерывных функций с компактным но­ сителем.)

Наибольшую важность представляет следующий результат.

Те о р е ма . Если f < = S p и g ^ S

q, где (\/p) + (l/ q)= 1, то

произведение fg

принадлежит S 1.

Коши в Е р , определяющая

Пусть ( * „ ) —

последовательность

/, а (уп) —последовательность Коши в Eq, определяющая g. Имеем

II ХпУп

%тУтIII ===

 

 

 

 

 

 

 

 

==ІІ ( * «

Х т) У п " Р %т ( У п

 

У т ) 1^

II {%п

%т) У п 1" р

|| Х т ( jjn — Упг) ІІ1>

и в силу неравенства Гёльдера

 

 

 

 

 

II

%пУп

ХтУт11^

II

%тlip II Уп IIq ~Р II Хт||р II

Уп

УтІІр-

А так как

(хп)

и (уп) —последовательности

Коши, то Цх„Цв

и IIУпІІр ограничены;

значит,

\\хпуп — xmym\\x—>>0, т.

е. (хпуп)

является последовательностью

Коши

в S ’1, и,

очевидно, опре.

деляет произведение fg.

 

 

L2 есть гильбертово

простран*

Сл е д с т в и е .

Пространство

ство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

422

ГЛ . X .

И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е

В самом деле,

если f e

^ 2 и g e S 12, то f g ^ S 1. Выраже-

ние (f\g) — u(fg)

определяет на L2 скалярное произведение,

а норма элемента

из L2,

определяемого посредством /, равна

(/І/)ѵ*.

З а м е ч а н и е . Приведенная теорема справедлива в пред­ положении, что р и q конечны и отличны от 1. Ниже (§ 4) бу­ дет дано ее расширение на случай, когда р — 1, q — -f-oo.

С другой стороны, неравенство Гёльдера, очевидно, расши­ ряется посредством перехода к пределу, и стало быть, мы имеем для / е S p, g < ^ S q

 

 

 

 

 

 

 

Ы / £ ) І < іт іРІІ£ІІ,.

 

g

 

 

 

 

 

Следовательно,

если

предположить,

что

фиксировано,

а f пробегает S p, то неравенство Гёльдера будет означать, что

линейная форма f -*y(fg)

непрерывна

на

S p. Таким образом,

всякая

функция

g е

 

S q

определяет

непрерывную

линейную

форму на S p:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если р =

2,

то любая

непрерывная

линейная

форма

на

S ’2

записывается

в

виде

 

f-*p(fg),

где g

e ^

2 (гл.

IX,

раздел

2,

§ 2, теорема 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J&P. Про­

3.

 

Случай относительного включения пространств

стое отношение включения между пространствами 3?р не имеет

места,

т. е., вообще

 

говоря, неравенство

р <

q

не

влечет

ни

S 'p

S

q, ни 9?р er S

q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так, на интервале ]0, +оо[, наделенном мерой Лебега, чис­

ловая

функция f, определенная как f(t) =

t~a на ]0, I] с а = 1 /2

и f(t) =

t~& на

[1,+°о[ с

ß =

2, принадлежит

S ’1,

но не

при­

надлежит S 2.

 

 

 

 

 

 

1,

то / q k S x,

но f ^

S

2.

Напротив,

если взять се = 1/4 и ß =

Укажем два важных случая включения.

 

 

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

 

3. Если мера ограничена, то неравен­

ство р ^

q влечет S

p er S q.

 

 

 

 

 

мера

мно­

В самом деле, пусть ц — мера и р(Л)— конечная

жества А, на котором меняется переменное.

 

(1/г) = (l/q)

и

Если

р > р ,

то

 

\/q >

1/р;

положим

(1/р) +

применим неравенство Гёльдера. Пользуясь теми же обозна­

чениями, что и в п. 2,

получаем неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

а (Um -

 

 

П <

(I* (Um -

\р))ф (и ( A) f r,

 

 

 

 

которое

доказывает,

 

что если

(хп)— последовательность

Коши

в Е р ,

т о

(хп) будет последовательностью

Коши

и в Eq,

а

зна­

чит, S

p er S q.

 

 

 

4.

Если

на множестве

N натуральных

Пр е д л о ж е н и в '

чисел

задана

мера

 

р, как мера, равная

+1

в

каждой

 

точке

из N,

то неравенство р ^ .q влечет S p er S

q,

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы