428 |
|
|
ГЛ. |
X. |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
|
|
Пусть f е |
S ’00, g e S ’1. |
С |
одной |
стороны, f есть предел |
почти всюду последовательности Коши |
(хп) в 2 700, а |
с другой |
стороны, g есть |
предел почти |
всюду последовательности Коши |
(уп) в 3?х. Стало быть, |
fg |
= |
lim хпуп. Покажем, |
что f g ^ S 1; |
достаточно показать, что |
(хпуп) есть последовательность Коши |
в Е, наделенном полунормой |
пространства SK В |
самом деле, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II %пУп %тУт 111 |
|
II Х п {.Уп |
У т ) H“ У т { Хп |
|
Х т) ||і ^ |
|
|
|
< |
II Х п (У п |
Ут ) 111“Н II У т (Хп |
Х т) ||j 5^ |
|
|
|
|
|
|
< |
II Х п И,*,II уп |
ут||і "Ь II Х п |
Х т 11^Иутllj. |
Но IIХпIIоо ограничена, |
\]ym]U тоже |
ограничена, |
и \\уп — УпЛі |
и ||jc„ —Xmlloo |
стремятся к нулю, тогда |
п, т стремится |
к беско |
нечности. Следовательно, |
fg е |
S ’1. |
|
|
|
|
|
Но, кроме того, из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II ХпУп ||і ^ |
КХп ll^ II |
у п ||і |
|
|
получаем для п —»■оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II t e ll, < 1 1 / I U |
I s ii i . |
|
|
|
Итак, справедлива теорема: |
g ^ |
S |
1, |
то f g ^ S |
1, и |
ll/glli |
Т е о р е м а |
2. |
Если |
|
|
ll/IUIglli. |
|
|
1) Предложения 3 и 4 стр. 422 легко распро |
З а м е ч а н и я . |
страняются на случай, когда числа р и q принимают любые значения, большие или равные 1, включая значение +оо.
2) Соотношение
|
II t e |
II, < І І Л І Л g lli |
|
|
|
|
показывает, что g-*>р(/я) |
есть непрерывная |
линейная |
форма |
на S ’1, a |
f - +y(fg) — непрерывная |
линейная |
форма |
на |
3?°° |
(ср. § 3, п. 2, замечание); |
таким |
образом, это — то |
же самое |
свойство, |
которое имеет |
место, |
когда р < |
о о и |
q <с о |
о и |
(1/р)+ (!/<?)= 1. Ниже мы увидим, что всякая непрерывная
линейная форма на і? р, |
где |
1 < |
р < + |
о |
о т,. е. где р конечно, |
задается как f-*\i(fg), |
где |
|
( 1 < |
^ < + oo, т. е. q рав |
но -fco, если р = |
1) *), |
но это |
свойство |
уже не будет выпол |
няться при р = - ф |
о |
о Иными. |
словами, |
если g e ^ " 1, то, каково |
-бы ни было f ^ S |
00, |
линейная форма |
f-+y(fg) непрерывна на |
S ’00, но это выражение |
не представляет |
всех непрерывных ли |
нейных форм на 3?°°. |
|
|
|
|
|
|
*) См. сноску на стр. 426.
Р А З Д Е Л 6
ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА — НИКОДИМА. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ НА 2 Р
Когда на одном и том же пространстве Рисса числовых функций заданы две меры, р и ѵ, то естественно поставить вопрос о том, какое соотношение существует между этими двумя мерами и будет ли функция, интегрируемая относи тельно меры р, интегрируема относительно ѵ? Именно с этим вопросом связана теорема Лебега — Никодима *), которая будет использоваться для установления разложения одной меры от носительно другой. Иллюстрацией к этому разложению -могут служить положительные меры на числовой прямой, определен ные посредством монотонных функций, и разложение этих мер является разложением положительной меры относительно меры Лебега. Мы ограничимся случаем, когда р и ѵ — ограниченные положительные меры.
§ 1. Теорема Лебега— Никодима
1. Определение одной абсолютно непрерывной меры отно сительно другой. Пусть р и V— две меры, определенные на одном и том же пространстве Рисса числовых функций на множестве А. Говорят, что мера ѵ абсолютно непрерывна отно сительно меры р, если любое множество р-нулевой меры будет множеством ^-нулевой меры.
Приведем пример, который представляет собой частный случай общей теоремы, излагамой ниже, в разделе 8 (§5). На компактном интервале [0, 1] числовой прямой рассматривается
мера |
Лебега р. Пусть, с другой стороны, |
ср есть функция от |
t s [0, |
1], непрерывная и возрастающая; |
ясно, |
что если положить |
|
v([t, /']) = I ф (0 — |
Ф(О I. |
|
то будет определена мера. Если при этом функция qp удовлет воряет условию Липшица первого порядка, т. е. если суще ствует такая постоянная М, что для любых t u t '
І Ф ( П - Ф ( 0 І < Л Ш ' - Н
то мера V абсолютно непрерывна относительно меры р. В са мом деле, если е — множество p-нулевой меры, то при любом е > 0 оно может быть покрыто конечным или счетным семей
ством таких интервалов /&, что 2 |
< е- |
Но мера ѵ интер |
вала /ft не превосходит M p(/ft); |
значит, |
для любого е > О |
*) Или, как ее чаще называют, теорема Радона — Никодима.
430 |
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
найдется |
покрытие множества е интервалами /&, сумма ѵ-мер |
в которых удовлетворяет условиям
S v ( 4 K M H | x ( 4 K e . M .
2. Теорема Лебега — Никодима. Пусть р и ѵ — положитель ные ограниченные меры, определенные на одном и том же пространстве Рисса числовых функций-, и пусть ^ ( р ) , і?(ѵ) — соответствующие пространства 3?. Если мера ѵ абсолютно не прерывна относительно меры р, то существует, и притом един
ственная, |
такая функция |
что |
для |
любой функции |
/е=2?(ѵ) |
//o s ^ ( p ) |
и |
|
ѵ(/) = р Ш . |
|
|
|
Пусть |
А — пространство переменного |
и |
пусть со = |
р + ѵ. |
В силу ограниченности мер имеем S '1(а) zd S '2(со). |
мно |
Пусть |
/ е і ? 2(со) |
и |
фА — характеристическая функция |
жества А. |
Функция |
/ = |
/фд принадлежит ^'(со). Если, с дру |
гой стороны, функция f |
принадлежит S ’1(а), т. е. интегрируема |
относительно меры |
р + |
ѵ, |
то она такова |
и относительно |
р и ѵ |
в отдельности, ибо / определяется при помощи последователь ности (хп) числовых функций, являющейся последовательно стью Коши относительно полунормы пространства S ’1(со), т. е.
|
|
^ ( I %т |
|
I ) |
Р ( I %пг |
|
I ) “Ь ^ ( I %tn |
%п I) |
|
стремится к нулю, а так |
как р и ѵ — положительные меры, то |
отсюда |
следует, |
что ц ( \ х т — х п \) |
и |
ѵ ( \ х т — хп\) тоже |
стре |
мятся |
к нулю. |
Следовательно, |
можно |
рассматривать v(f), где |
f e ü ? 2(со), и записывать |
в силу |
неравенства |
Гёльдера, что |
| ѵ ( / ) | < ѵ ( | / | ) = с о ( | / | ) - р ( Ш ) < с о ( | / | ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
® ( I |
/ I • фл Х |
II /11^ (со) II фл 11^ (Ш). |
|
Это неравенство показывает, что ѵ есть непрерывная ли |
нейная |
форма на 3?2{со). Стало |
быть, существует (раздел 5, |
§ |
3) такая функция g e j ? 2(co), .что |
для любой |
функции f <= |
е |
i? 2(co) имеем |
|
|
у (/) — ® (!§)■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция g положительна (кроме как, быть может, на мно |
жестве со-нулевой меры); |
в самом деле, поскольку ѵ(/) = |
®(fe) |
для любого f е i? 2(co) (и в частности, если взять / = фА), |
то по |
лучаем ѵ(фл) = |
co(g) ^ 0 ; |
если В = |
{t: g(i) < |
0}, то 0<ѵ(фВ) — |
= |
co(grpB) sg 0, |
а следовательно, ѵ(фв) = со(§фВ) = 0; так как |
£Фл < |
0 и co(g4pB) = |
0, то g-фв == 0 почти всюду относительно со |
(см. раздел 3, § |
1), |
и g > 0 . |
|
|
|
|
|
|
,П . В .
Пусть теперь * e i ? 2(co); так как
' |
V (х) = со (xg) — р (xg) + V (xg), |
то ß (xg) = v ( x ( l — g)).
|
|
|
|
|
|
g ^ |
Заменяя функцию g |
на (1 — cpB)g, мы |
можем считать, что |
0 для всех t <= А. |
В самом деле, |
пусть X — подмноже |
|
Покажем, что g < l . |
ство А, на котором |
П . В . |
|
X |
ѵ-измеримо и р-из- |
g ( 0 > l ; множество |
меримо (раздел 4, |
§ 1, |
п. 2: так как мера ограничена и |
g e |
i 2(со), то g ^ L 1(со); |
поэтому g ^ L l(n) |
и g е L1(ѵ)). Кроме |
того, (рх <= Ѵ°(а>), поэтому ф^ е і 2(и)> откуда следует равенство
ц (Фх£) = ѵ (Фх О — £))•
Но (pxg ^ 0, поэтому р(фxg)^0> а Фа: О — £) ^ О, поэтому ѵ(ф*(1 — g ) X 0 ; отсюда следует, что р(флг£) =ѵ(фх(1 — g )) = = 0. Но, как нам известно, из равенства р (фа£ ) = 0 для неотри
цательной |
функции |
фxg |
|
следует, |
что |
множество |
X == |
= {t\ ф ^ ( 0 я ( 0 > ° } |
имеет |
р-меру нуль; так |
как ѵ абсолютно |
непрерывна |
относительно |
р, |
то |
X имеет также ѵ-меру нуль, |
т. е. и «»-меру нуль. Заменяя g |
на (1— Фx)g, мы можем |
счи |
тать, что g ■< 1 для всех t е |
А. |
любой |
функции x ^ L 2(a) и |
Так как g<=L°°(со), то |
для |
любого натурального k имеем xghе= L2(tt>); поатому xgh интег |
рируема относительно со, р, ѵ. |
Подставим xg вместо х в ра |
венство v ( x ) = n(xg) + v(xg); тогда |
V (xg) = со (xg2) = |
р (xg2) + V(xg2), |
откуда последовательно выводим |
|
Относительно меры ѵ имеем g |
1, и следовательно, если |
|
п. в. |
X ^ 0, то xgn убывает и стремится почти всюду к нулю, а стало быть, v(xgn) стремится к нулю.
Итак, для любого х е і ? 2(ѵ) и для х ^ 0 можно записать
Последовательность функций
