Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

6 РАЗЛОЖЕНИЕ MEPbt

 

 

 

 

43?

и если

x = q>A, то

G{vA) <t\\FU\i{A))4P.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По

теореме

Лебега — Никодима

найдется

такая

функция

/o E ^ (|j.), что

F(x) = n(xfo)

для любой

функции

*,

интегри­

руемой одновременно относительно G и Н. Функция

fo опре­

деляется единственным образом (с точностью

до

множества

меры нуль).

 

 

 

 

 

Коши

в

Е, наде­

Наконец, если (хп) — последовательность

ленном нормой пространства 3?р, то поскольку G есть непре­

рывная линейная форма на

то

 

 

 

 

 

 

 

 

G(1 хп— xm I) ^

II G II •

II хп

хт||р;

 

 

 

значит,

G(]x„ — хт| )

стремится к нулю; если

при этом хп схо­

дится

p-почти

всюду

к функции f 6= 3?р,

то

в

силу

того, что

любое множество p-нулевой меры является множеством (/-ну­ левой меры (абсолютная непрерывность), хп сходится G-почти всюду к функции /, которая, стало быть, интегрируема отно­ сительно меры G. Таким образом, равенство F(х) — р(х/0), справедливое для любой функции х, интегрируемой одновре­ менно относительно G и Н, тем более справедливо для любой

функции Xез £?р.

теперь,

что р > 1,

и рассмотрим

такие

функ­

Предположим

ции

что Ose; х

/0(.

если f o(t )^0,

и —1,

если

Пусть фо — функция,

равная

1,

Ш < 0 .

Имеем

р (*<?) = р (х*-1- * )< р (х?_11/о I) = Д (^"'Фо ' fo) =

= F(x*-' •ФоХИ/НІіи*-1Up.

Но равенство (1/р) + (1/<7) == 1 Дает p( q — \) = q. Отсюда р ( ^ х і і л і ( р (х<)ур

( р ( х ^ = |и ^ < ||К ||.

Наконец,

пусть

(х„)^~ последовательность

функций,

опре­

деленных как

 

 

fo (t),

 

 

] fo(t) I <

n,

 

 

 

 

Хп (0 =

если

 

 

 

 

xn (t) =

«Фо,

если

I fQ(t) I >

n.

 

 

Последовательность xn сходится p-почти всюду к f0 (х+

воз­

растает к fo,

Хп убывает к / Д

функция х п

ограничена, и зна­

чит, принадлежит 3?°° и

É 4

(поскольку

мера ограничена),

и „ | < І Ы >

и значит,

 

нормы ||х„||?

ограничены;

следовательно,

по теореме

Б. Леви,

f0 е

 

 

 

 

 

 

438

 

 

ГЛ. X.

ИНТЕГРИРОВАНИЙ

 

 

 

 

 

 

Кроме того,

имеем

ІІ/оІІ? ^ IIЛІ, поскольку

для

х е S ’*1 и

0 < x < | f o| получаем

IU||4< ||F||.

Но так как, а силу

неравен­

ства Гёльдера,

 

имеем

|^(^) | = |р(^/о) | ^

Mlpllfollg.

то ИЛІ ^

< ІІ/оІІqi Истало быть,

НЛІ = ||/0||g-

ц-максимум

 

функции

При

р = 1

обозначим

через

ll/olL

 

|/0|, конечный

или бесконечный,

и предположим,

что

ll/olU ^

^Н Л І + е, где

е > 0 — действительное число. Пусть

 

X — мно­

жество

точек

t,

в которых

\fo{i)\^ \ \ F \ \ г/2

и

ер* — его

ха­

рактеристическая функция.

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р(ІФ*/оІ)>МХ)-(|| К|| + е/2).

 

 

 

 

 

Но р (I cpxf0\) =

F(q>x • фоХИ К|| •

ІІФхИі =

|ІЛІ •

р(Х).

 

Так

как

ц(Л') >

0, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

||F|| + e/2<[|F||,

 

 

 

 

 

 

что невозможно. Следовательно,

предположение

о

 

том,

что

ІІ/оІІоо ^

!|/г|| +

е,

было

ложно, и

стало быть, ll/olL ^

 

l|f II.

Так

как снова имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I/=■ (*) 1= 1P(*fo) IK lull, Ifoil«,

то всегда ИЛІ = 11/olL *)•

Теперь сформулируем теорему.

Те о р е ма . Пусть р — положительная ограниченная мера на пространстве Рисса числовых функций. Любая непрерывная

линейная форма F на 2 ”р записывается

в виде

F(x) =

p(xfQ),

где f0(^£?q((l/p)-\-(l/q)= 1

и

1 < / ? <

+оо).

Кроме

того,

норма этой линейной формы равна ||ЛІ =

ll/olU-

 

 

Все функции /о в этой теореме равны между собой р-почти

всюду.

 

Эта теорема

довольно легко распростра­

О б о б щ е н и е .

няется

на тот случай, когда

р — неограниченная

мера и когда

р >■ 1.

Упрощающее

условие

позволяет распространить

преды­

дущий

результат на

случай

неограниченной меры и 1 ^ р <

< + оо: предполагается, что множество А является счетным объединением измеримых множеств (если речь идет о мере на локально компактном пространстве, то предполагается, что это пространство счетно в бесконечности, т. е. является счетным

-объединением компактных множеств).

с о

В самом деле, если

A = \ j A n, причем мера каждого Ап

,

1

конечна и Ап возрастают, то рассмотрим пространства і? р (Лп).

*) Как видно из этого рассуждения, здесь в качестве і? “ рассматрк вается пространство { л е й ’1: ||лсЦсо < +°°). См. сноску на стр. 426.

6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ

439

Линейная форма F непрерывна на каждом из них, и если означает функцию, принадлежащую ЗБ4 и такую, что для лю­

бого

класса

имеем F(x) —

\.i(xfn), то ||/nllq ^

11Е||. Един­

ственность

функций /„

в Е«(ЛП) влечет,

что на Ап

fnjpI. fn+i't а

так как | / « | < | / я+і|. то /„

сходится

к

функции

f ozaS’HA).

 

Предыдущая

теорема

выражается

также в

С л е д с т в и е .

следующей

форме:

для

пространство,

сопряжен­

ное к Lp, может быть

отождествлено с

а так

как

(1/р) +

+ (1j q ) ~ 1, то сопряженным к Ьч будет Lp, если 1

s=: q <С + 0 0 .

Следовательно, если 1

< p < - f ° ° , то п р о с т р а н с т в о

L p

рефлек­

с и в н о *).

п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й .

Если

П р о с т р а н с т в а

рассмотреть пространства Lp(N), элементами которых яв­ ляются последовательности х = (|„) действительных чисел и которые определяются при помощи (неограниченной) дискрет­ ной меры на N, то

 

 

 

 

 

іи и Р =

( 2 і ы

р)1/р.

 

 

 

При

1 <

р < + 0 0

любая

непрерывная линейная

форма за­

писывается

в виде

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F{x)—2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/=I

 

 

 

где

а =

(аг) е Lq (N)

(т. е.

2

I «г \я <

+ °°), и

 

 

 

 

 

II

F II =

11 М

= ( 2

і а г Г0,/Р.

 

 

 

При

р =

1 любая

непрерывная

линейная

форма

на Ll(N)

записывается в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с о

 

 

 

 

 

 

 

 

Е ( х )= 2 ЩІ і ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і=І

 

 

 

где

а =

(а;) <= L00(N)

(т. е.

sup| а, | < + оо),

и ||^|| = |[а|(ов =

= sup) at [.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*) Ср. замечание 2 на стр. 359. Пусть £ — нормированное векторное про­ странство, £*-—множество непрерывных линейных форм на Е. Тогда Е* яв­ ляется нормированным (и даже банаховым) пространством относительно обычных линейных операций и нормы, введенной в разделе 2, § 2, п. 2. Со­ поставляя каждому элементу х е Е функционал Fx на Е*, определенный равенством Fx(f )=f(x) для всех f е Е*, получаем отображение Е в про­ странство £** непрерывных линейных форм па £. Если это отображение есть изоморфизм нормированных пространств £ и £**, то говорят, что £ — ре­ флексивно. .

440

ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЙ

Р А З Д Е Л

7

ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА — ФУВИНИ

Теорема Лебега — Фубини будет излагаться в предположе­ нии, что меры определены на кланах подмножеств заданного множества.

§ 1. Произведение двух кланов Рассмотрим два множества А и В\ их элементы будут обо­

значаться соответственно через Е-, г|,

их подмножества — через

X, Y, их произведение — через А X

Часто

X X У будет обо­

значаться через г; это произведение

будет

называться прямо­

угольником.

 

 

Прежде всего мы в этом параграфе приведем несколько

простых свойств.

 

 

пусто в том и только том случае, если

1)

Множество X X Y

одно из подмножеств X,

Y пусто.

то

существует

(|, ті)е

В

самом деле,

если X X У Ф 0 ,

е X X

У, и значит,

X u

Y непусты. Обратно, если

X

и

Y не­

пусты, то X X У

0 .

 

 

и -^2 X ^ 2

непусты,

то

 

 

2) Если множества ХхХУ\

 

 

 

XxX Y {^

Х2ХУА $ Х \ < = Х 2

и

 

Yxcz Y2.

 

 

Предположим,

что Х хX У\

Х2X

Уг

и

что

Хх не

содер­

жится в Х2, а значит,

чго

существует

 

е

Хх,

ф. Х2.

Тогда

для некоторой точки (^, т]),

принадлежащей ХхX Уі> должно

выполняться

 

 

(іі> л) 0 Х2X У2>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и следовательно,

не имеет места соотношение

 

 

 

 

 

 

 

X, X Y, с

Х2X

У2-

 

 

 

 

 

 

Точно так же рассуждаем с Ух и Y2.

Обратное

очевидно.

3) Следствие:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ХхX Уі — Х2 X У2 ^ 0

Хх= Х2 и YI — У2’

 

 

В самом деле,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J . X T . c X s X ^ c ^ X i V

4) Если Х Х У = ( Х хХ У і)ІПХ2Х У 2) и (ХхXT,) П (Х2Х У2) = 0 ,

то либо Х = Хх= Х2, Y = Yxи У2, У, П У2= 0 > Аи6° У = У\ = У2>

X = Х хU Х2, ХхП Х2 — 0 .

И обратно.

Предположим, что

 

X = X, U Х2,

Х\ П Х2= 0 , Y — Yx= Y2.

Смотрите также файлы