Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 140

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

432 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ограничена, и значит, по теореме Беппо Леви, предельная

функция

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(ц)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(принадлежит 3?1(ц))

при любом х ^ 0 и

 

 

Положим

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f o = 2 g ‘

 

 

 

 

и возьмем X = фа. Тогда

1

 

 

 

 

 

 

(ц).

 

 

 

 

Итак,

теорема

 

Фл/о = /о е

 

 

 

р(//0)

в качестве /

 

доказана, если взять в формуле ѵ(/) =

положительную

функцию

х,

принадлежащую

і? 2(ѵ).

Для

неположительной

функции

х,

принадлежащей

і? 2(ѵ), достаточно представить х в виде х = х+—лг.

 

Остается показать, что теорема верна для произвольной

функции

 

 

 

 

 

которое

бралось

как

исход­

Пусть Е — множество функций,

ное для

построения различных

пространств 2 ’ѵ{\і)

или

і?т(ѵ)

(в двух основных случаях Е является пространством ступенча­ тых функций или непрерывных функций с компактным носи­ телем). Обозначим буквой х (с индексом или без него) эле­ мент из Е. И пусть функция / e L ‘(v) определена посредством последовательности Коши хп. Так как теорема верна для лю­ бого элемента из Е и так как

V {\хп — хт I) =

р (] xnfo — xmf01),

 

то последовательность (x„f0)

есть последовательность

Коши

в і?1(ц). Значит, существует

последовательность xnJ 0,

сходя-

дящаяся ц-почти всюду; но так как ѵ абсолютно непрерывна относительно ц, то последовательность xnJ 0 сходится ѵ-почти

всюду, и то же самое имеет место для последовательности хПк. Последовательность хПк, а стало быть, и последовательность Коши хп, определяет элемент f е ЗЕХ(ѵ) (к которому хПк схо­ дится ѵ-почти всюду). Следовательно, имеем

lim Хпк = f (ѵ-п. в.), Ymxnjo — ffo(^'П- в.),

а так как ѵ (х) = р (xf0) нри х <= Е, то

v(xnk) = v(x„Jo),

и значит’, в пределе

ѵ(/)==р(//о).

 

 

 

 

6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ

 

 

433

Докажем

единственность

fo-

Пусть

f'0— другая функция

из L'(p)

такая,

что v(f) = n(ffl

Для

 

всех

/ е

(ѵ). Тогда

ц (/(fo — / о ) ) =

0

для

всех f <= Ü (ѵ), где

f0 — fo

с

Z.1(р). В част­

ности, р ( f (fo — f'o)) =

0 для всех / е= Е,

откуда

помощью не­

сложного

рассуждения следует, что /0

 

f'0

О-

§ 2 . Р а з л о ж е н и е м е р ы

 

 

 

 

 

 

Теперь

можно,

пользуясь

теоремой

Лебега — Никодима,

дать ответ на вопрос о проблеме соотношения между двумя

мерами р и ѵ.

Мы будем рассуждать в предположении, что р

и V — положительные

ограниченные

меры, определенные отно­

сительно одного и того же клана 1

подмножеств одного и того

же множества А.

меру со = р

ѵ. Если некоторое под­

Рассмотрим

снова

множество из

А имеет ©-нулевую

меру, то оно имеет также

р- и ѵ-нулевую меру. Значит, р и ѵ абсолютно непрерывны от­

носительно со =

р + V.

 

 

<£?(©),

то feizf(p)

и / e S ’fv).

С другой стороны, если f =

Согласно

теореме

Лебега — Никодима существует

такая функ­

ция

g e

S

’ ( c o ) ,

что для любой

функции

f e S

’ ( v )

 

имеем

 

 

 

 

 

 

V if) = со (gf) =

р (gf) + V(gf).

 

 

 

 

 

Для множества X, ©-измеримого, а значит, р- и ѵ-измери-

мого, имеем

V (X) =

V (фх) =

р (gcpx) +

V(йф*)-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, что 0 ^

g <

1 (ѵ-почти

всюду).

Возьмем

в каче­

стве X подмножество из А, на котором

g(t)7> 1.

Тогда

gcp^ >

> cpjf, и мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ(Х) — ц (gcpx) + v (g<Px) ^ V (Фх) + v (Фх) =

ß (X) + V(X):

 

значит,

р(Я) =

0, и следовательно, p(grpx) = 0.

 

 

 

 

 

 

Далее,

равенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дают

 

 

 

V(X) = V(gq>x) — ѵ (Фх)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v((g — 1)фх) =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

(g — 1)qjjsr обращается

в нуль

вне

X,

положительна

на

X,

значит,

положительна на

Л,

и

стало

быть, равенство

v ( ( g -L 1)фА-) =

0

влечет

( g — 1)фх =

0

(ѵ-почти

 

всюду).

Так

как

на

X, по

условию,

имеем

g(t)— 1 > 0

и

ф ^ (/)^ 0 ,

то

= 0 (ѵ-почти

всюду).

Следовательно, ѵ-почти

 

всюду

имеем

g ^ l .

С

другой

стороны, доказательство теоремы Лебега —

Никодима

(см.

свойства функции g и определение функции

f o )

показывает,

что ѵ-почти всюду имеем 0 < g.

 

 

 

 

•/214 И. Заманский

434

ГЛ

X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

 

 

 

Таким

образом,

 

(ѵ-почти всюду).

 

Изменим надлежащим образом значения функции g на

множестве ѵ-нулевой меры так, чтобы 0 ^

g ^

1 .

 

Пусть теперь

 

 

 

 

 

 

Л0 — множество

тех І е Д

где

0 <

g (t) <

1;

A i — множество

тех t е

А,

где

 

g(^) =

i.

Имеем

A = A0UAh

Ао(]Аі =

0 ,

 

 

 

 

 

т. е. Aq и А і составляют разбиение множества А. Кроме того, р,(Лі) = 0. В самом деле,

ѵ(л 0 = й (етЛі) + ѵ(етДі);

но

 

 

 

 

sva' ^ va,;

 

 

 

 

 

следовательно, ѵ(ЛЛ =

р,(Лі) +

ѵ(Лі), и

р(Л,) =

0.

Из

этого

для любого подмножества X следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н и п л , )

=

о.

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь две меры, ѵо и ѵь определяемые

как

 

 

ѵ0 (X) = V(X П Ло),

 

V! (X) =

V (X П Аі).

 

 

Имеем прежде всего

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V, (Л0) =

V(Л0 П Аі) == V(0 ) = 0,

ѵ0(Л|) = 0.

 

 

Если X есть ѵ-измеримое подмножество, то

 

 

 

 

ѵо(ХПЛІ) =

ѵ(ХПЛоПЛ1) =

ѵ( ХП0) = ѵ(0) =

О>

 

 

ѵ1(ХПЛо) =

ѵ(ХПЛоПЛ1) =

ѵ( ХП0)==ѵ(0) =

О,

 

ѵ(Х) = ѵ((^ЛЛ0) и( ХПЛ1)) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— ѵ {X Л Л0) +

V(X Л Аі) =

ѵ0 (X) +

V, (X).

и

Итак,

найдено

такое разбиение

Л =

Л01)Л1 множества А

такое

разложение

меры ѵ

на

ѵ — ѵо + ѵц

что

ѵо(Л[) —

=

Ѵі(Л0) = 0 и что мера р(Л])

равна нулю.

 

 

 

 

Наконец, покажем, что мера ѵо абсолютно непрерывна от­

носительно (X. Пусть подмножество X из Л таково, что р(Х) =

=

0; покажем, что ѵо(Х) = 0.

В самом деле, имеем

 

 

 

•

ѵ0 (X) =

V(X Л Л0) =

ц (бч>*пЛо) + ѵ ( ^ x п л,);

 

 

так как p.(A') = 0, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М(*ЛА,) = °

и

м(£Ф*пЛо) = 0;

 

 

 

е. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ

435

следовательно,

ѵ (* Л Л ) =

ѵ(£ЧРхпл.)’

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ((1 - g

)

<

P

*

n J

=

° -

 

 

 

 

 

Но на Ао,

а значит, и

на

X Л Ао

имеем 1— g > 0;

следова­

тельно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ(Фхпл») =

ѵ(;':Пі4о)==0>

 

 

 

 

 

т.

е. ѵ0( Х) = 0.

задано разложение

меры

ѵ такое,

что ѵ =

=

Обратно, если

v0-fv,,

ѵ0 (Л,) =

V, (Л0) =

0

 

и

р(Л,) = 0,

то

из

формулы

ѵ(/) = p(g/) + v(gf), примененной для f =

qpß ,

Е с А,, получаем,

что ѵ (Фг) =

р (£Фя) + ѵ(^ф£) =

ѵ(^ф£), откуда следует,

что g = l

почти всюду на А,. Если,

напротив, g — 1

на множестве F c

Л0,

то V(фР) =

[X(<fP) +

V(фД

т. е. ц(ф/0 =

О,

и так как Fez А0,

то

 

(F) = 0,

а ввиду абсолютной непрерывности ѵ0

по

 

имеем

ѵ0 (F) — 0; поэтому v(F) =

0

и поэтому Ах (с точностью до мно­

V,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

жества меры нуль)

есть

множество,

на

котором

g принимает

значение 1; поэтому единственность g влечет единственность разложения меры ѵ.

Таким образом, получаем следующий результат.

Т е о р е м а . Пусть р и ѵ — положительные ограниченные меры, определенные на одном и том же множестве А относи­ тельно одного и того же клана. Можно единственным образом выбрать такие две положительные меры ѵо и ѵі и такое раз­

биение А = Ао U А х множества А

(где Л0, А х определены с точ­

ностью до множества меры нуль),

что

1)

ѵ = ѵ0 +

V,;

 

 

2)

ѵІ(Л0) =

ѵ0(ЛІ)==0 и

р(Л,) = 0;

3)

для любого ѵ-измеримого подмножества X

 

 

Л А , ) =

V , ( Х П Л 0) = 0 ;

4) ѵо абсолютно непрерывна относительно р.

Этот результат может быть сформулирован следующим об­ разом: пусть р и V— заданные меры на Л; ѵ есть сумма двух мер ѵо и ѵь мера ѵо абсолютно непрерывна относительно р;

подмножество А\ из

А, на котором сосредоточена мера ѵі,

имеет p-нулевую меру,

хотя вообще ѵх(Ах) ^ 0.

Можно еще сказать, что если в качестве исходной выбрана каким-либо образом мера р, то другая мера ѵ не будет, во­ обще говоря, абсолютно непрерывна относительно р, т. е. мно­ жество p-нулевой меры будет вообще говоря, иметь строго

7214*

436

ГЛ X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

положительную меру ѵ; но мера ѵ будет представлять собой сумму двух мер ѵо + ѵь множество p-нулевой меры будет иметь ѵо-нулевую меру, а подмножество, на котором сосредо­ точена мера ѵь будет иметь р-нулевуго меру (но не нулевую ѵ-меру).

§

3. Непрерывные линейные формы на

пространствах £ £ р

В этом параграфе приводится выражение любой непрерыв­

ной

линейной форіѵы на пространстве

S v ( І ^ р с + о о ) .

Предположим, что все пространства S p построены исходя из

одного и того же

пространства

Рисса Е

числовых функций

(удовлетворяющего,

в частности,

условию

х <= Е ==>\х \р ^ Е) и

положительной меры р, которая предполагается ограниченной,

что влечет S p го S'*

при р ^ q.

 

 

если r e S ’f', y ^ S P и

Для

всех этих пространств S p имеем:

0 ^

у sg: X, то \\у\\р ^

\\х\\р.

(Это верно также

и для S ’00.)

 

 

 

Пусть F — непрерывная

линейная форма

на

S°°; имеем

 

 

 

 

 

 

I т (х )!< ||Т ||||х ||р

 

 

 

 

 

 

 

для любых x ^

S p, причем

||Т|| есть норма формы

F. Согласно

теореме из §

5,

раздел 1,

форма

F является разностью

 

двух

непрерывных положительных линейных форм G и Я; пусть,

стало быть, F =

G — Н (где

G(x)—

sup

F (у)).

 

 

 

 

 

Пусть х„ — последовательность

 

0<!/< X

 

 

p,

убывающая

функций из S

и сходящаяся к нулю; то же самое имеет место и для

|

х

(чтор

значит,

\\хп\\р

убывает и стремится к нулю

при

п-*оо

 

Г1| ;

не выполняется,

если р — -foo). Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G (x„)<|G (xn)|< ||G |||| х„ ||р,

 

 

 

 

 

то G(xn) стремится к нулю.

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хп I 0 =# G (хп) I 0

(аксиома 3).

 

 

 

 

 

Таким

образом,

G есть положительная

мера

на

S p,

равно

как

и

Н. Если х — функция, равная

нулю почти

всюду относи­

тельно

меры р,

то

||хЦр = О, а значит, F ( x ) ~ 0,

и стало

 

быть,

G(х) = 0, ибо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1G(x) | < G ( | X |) =

supF(*/),

где 0 < г / < | х | ,

II у ІКІІ х|| = 0.

Имеем

также И (х) = 0. Следовательно, положительные

 

меры

G и Н абсолютно непрерывны относительно р. Кроме того, они

ограничены, так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| G( x ) | <

 

sup

Т (г/)<||Е ||||х||р< ||Е ||аі(Л ))'//'||х||м,

 

 

 

Смотрите также файлы