Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл (16,84Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

		7. ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА — ФУБИНИ				441
Тогда	XroXj, Х=>Х2, YZ3YU				У=>У2;
	XroXj, Х=>Х2, YZ3YU				У=>У2;
следовательно,
	ХХУ=>( * . ХУі ) и ( Х2Х У 2).
Но	если (I, т ^ е Х Х У . т0 поскольку				g e X = X 1UX2,	то
1<==Х1 или g e Х2; а так как			т1е У	= У, =	У2, то
	(g, ті) е	(Хи К,)	или	(I, л) е	(Х2, У2);
значит,		Х^с=(Х,ХУі)и(Х2Х Т 2).
СледовательноХ,		Х^с=(Х,ХУі)и(Х2Х Т 2).
	X Х Т = (Х, XT,)U(X2X T 2).
Для	доказательства обратного			утверждения предположим,

(X, X Уі) Л № X У2) = 0

[ТО

X X т == (Xj X Уі) и (х2X Y2).

X X Г = (X, X Уі) и № X y 2) Ф X, X Y, CZ X X у,

Хі Х У г ^ Х Х У ;

изначит, в силу 2) имеем Х[С:Х, Х2с Х ; стало быть, Xt U Х2с:Х.

Точно так же Tj (J У2 с У. Но, с другой стороны,

( X , X У i) U ( Х 2 X Y 2) с ( X , U Х 2) X (Y , U Т 2).
Следовательно,		X er Х[ U Х2,			Г с= F, U Х2,
ѵи стало быть,
		х = х , и х 2, У = У,иУ2-
Но
	(X, X Уі) Л № X у2)				(X, n х 2) X (У1 Л У2);
0 =
		Х1П ^ 2 = 0		или	У і ЛУг = 0 -
Если ХіП-^2 — 0> томы покажем, что У = У, = У2.						Так как
Y z d Y ^ \ J Y 2,	т о	У г з У , .	Если	У — У, ф 0 , то пусть г] е		К — У,
(т. е. т) е У	и л ^ У0-		Д л я і	<= * 1 имеем ( \| , т ] ) е Х Х У; но так
как л<£Уі> т°		(S» Л)<£*іХУі		и (I, ті ) еХ2ХУ2. поэтому g e X 2
и		что невозможно.			Стало быть, не может быть

верно равенство

X X У = № X у і) и № X Уг)-

442	ГЛ.	X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
5)	Пусть Г — клан	на Л, а А — клан	на В. Рассмотрим на
А X В подмножества X X		У, где X <= Г, У е	А, и добавим к этим

множествам все конечные объединения непересекающихся эле

ментов. Легко видеть, что получен	клан на А у	В.	В самом
деле, достаточно показать, что Хх у	Уі — 12 X У2	есть	объеди
нение попарно непересекающихся множеств X X У; это нетрудно

сделать, заменив сначала Хх у Х2 конечным объединением по парно непересекающихся множеств X.

Полученный таким путем клан будет называться кланом —

произведением и обозначаться через Г X А.
§ 2. Мера — произведение
Пусть А — некоторое множество, Г — клан		его подмножеств
и \|а— положительная мера на А	(относительно Г). Пусть В —
другое множество, А — клан его	подмножеств и ѵ — положи
тельная мера на В.
Ступенчатая функция на Г X А является конечной линейной
комбинацией характеристических	функций	элементов клана

Г X А. Элемент клана Г X А есть конечное объединение попарно непересекающихся элементов X X У, и очевидно,

Функция cpjrxF	есть	Флг X	Y	= ФхФу

фу — функция ОТ Г].		функция		от	( I ,	г\|),	q>x — функция от g и
		определенной			на	А X	назовем	сечением
Для функции /,
в постоянной точке		g (соответственно в					постоянной	точке rj)
функцию от г)	(соответственно от				\|),	которая получится,			если
зафиксировать	g (соответственно				р).	Для подмножества			Z из
А У, В сечением	в постоянной			точке g		(соответственно rj)			назо

вем множество точек из В (соответственно из А), для которых сечение функции cpz в постоянной точке g (соответственно г]) отлично от нуля. Сечения ступенчатой функции на А X В в по стоянных точках g или г] являются ступенчатыми функциями соответственно на В или А.

Определим на А X В положительную меру со, приняв

со ( X XY ) = \i{X)v{Y),

но с дополнительным соглашением, что для множеств Z — X y Y , Z' = X' У У ' , удовлетворяющих условию Z ( ] Z ' = 0 ,

со (Z LI Z') = со (Z) + со (Z').

- Покажем, что со есть мера. В самом деле (раздел 1, § 3):

1 ) с о > 0 .

2) Если	Z с= Z'	и если Z и Z' непусты, то свойство 2) из § 1
дает X с= X'	и У с:	У'; следовательно, р(Х)^р(Х')> 'ѵ(У)^ ѵ(У'),

откуда со (Z) < ш (Z').

	7. ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА - ФУБИНИ				443
3) Пусть множество Zn — Xn X Y n таково,					что
	Zn zDZn+l		оо
	Zn zDZn+l		И f ) Z „ = 0 .
			і
Покажем,	что со (Z„) j 0.	Действительно,
	Z f i п э Z n + i	X -ti п о Х п _і_і		и Y fi п о Y f j+ i .
Так как	П (Xn X Yn) = ( П Xn) X ( Л Ya) =				0 ,
	П (Xn X Yn) = ( П Xn) X ( Л Ya) =				0 ,
то либо	[\ Xn — 0 , либо	П	— 0 > и значит, \|x(ЛГ„) или v(K„)
стремится к нулю, а стало быть, также и co(Z„)*).
Итак,	записываем
	со (/) — I f dco = J			f dp dv.

§ 3. Теорема Лебега — Фубини

Пусть f — числовая функция на А X В, интегрируемая от носительно меры со = р X ѵ. Речь идет о том, чтобы показать, что

J / dco = I

dp j dv = J ( I / dv j dp.

Напомним; что любая функция, принадлежащая 3?, предста вима в виде разности двух функций, являющихся пределами возрастающих последовательностей Коши элементов из Е, кото рое здесь является множеством ступенчатых функций (раздел 2,

§ 2, п. 1, теорема). Достаточно, стало быть, доказать результат

впредположении, что / определена при помощи последователь ности Коши возрастающих ступенчатых функций.

Пусть ер — ступенчатая функция на Л X К Для такой функ ции имеем

J ф dco =		J ^ J ф{х, у) dp (xfjdv(y) = J ^J Ф (*, У) dv (y)j dp (x),
или		со (ф) = V (р (ф)) = р (ѵ (ф));

в самом деле, это есть свойство конечных сумм.
*) Тем		самым условия 2) и 3) проверены на семействе множеств Z
вида	Z = X X У; читатель легко		проверит, что эти свойства справедливы
и в	случае,	когда Z пробегает	семейство всех элементов клана, т. е. се

мейство конечных объединений множеств вида X ХУ-

444 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Если в записи ja(ф) или

		J ф ( х ,		у )	d u	(X)
		А
предположить у фиксированным,					то затем интегрирование будет
производиться относительно у			на В .				Тогда	по
Пусть	фп — возрастающая			последовательность.
следовательность		функций	х-»ф п ( х , у ) (соответственно					у - *
—»Фп ( х ,	у ) ) при	фиксированном			у	(соответственно	х ) возрас
тает. Пусть

% ( у ) = J Фп ( х , y ) d i i ( x ) .

Функции ф„ являются ступенчатыми функциями на В и обра зуют возрастающую последовательность, ибо р есть положи тельная мера; кроме того, так как ѵ(фп) — (о(фп), то если (фп) — возрастающая последовательность Коши, последователь ность со(ф„), а значит, и ѵ(ф„), ограничена. Стало быть, ф„(г/) сходится для почти всех у (но мере ѵ) к ѵ-интегрируемой функ ции. Следовательно,

со (/) =	со ( lim ф„) =	lim о (ф„) =	lim ѵ (ф„) = ѵ ( lim		ф„).
	Cö-п. в.			ѵ*п.в.
Пусть еѵ— множество ѵ-нулевой			меры,	где фп(р)	не	схо
дится. Если	у ф е ѵ, то	поскольку функции		х-»-фп(х,	у )	обра

зуют возрастающую последовательность, все р-интегралы кото рой равны фп(у), то они сходятся всюду, кроме как на множе стве еи p-нулевой меры, к р-интегрируемой функции, и

1ітф„(г/)	=	Пт	Г ф„(х, y ) d \ i ( x ) = Г (П т		ф„(х, y ) ) d \ i { x ) .
	'	'	•*	J ц-п. в.
Так как	ф„ есть возрастающая последовательность, то если
в некоторой	точке		(х, у ) ^ А ^ В	последовательность фп(х, у)
не сходится,	то в этой точке фп(х,			у) —*+ °°,	и стало быть, эта
точка составляет подмножество множества					ю-нулевой меры,

на котором фп не сходится. Следовательно, если фп(х, у0) не сходится в уо ф еѵ, то это означает, что х е eß и что ф„(х, у0)-*

—♦ + °о.	Таким образом, если х ф. еп (это множество может из
меняться	с изменением у0), то	фп(х, уо)		имеет	в качестве пре-
- дела / (х, г/о) - Следовательно,		для	почти	всех	у (по мере	ѵ)
фп(х,у) сходится для почти всех X			(по мере р)		к f(x,y).	и
Итак,	для почти всех у функция /(х,			у ) р-интегрируема,

7. ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА - ФУБИНИ			445
Но функция ф„(г/) ѵ-интегрируема; стало быть, то же самое
верно и для функции	У-> J fix, у) dp (а),
которая равна ѵ-почти всюду функции 1ітф„(«/). А так как
со (/) =		lim V (ф„) - V(lim ф„),
то		(J fix, У) da (a)) dv (у).
«Оif) =	/

Меняя ролями х и у, получаем

СОif) — J ( j fix, у) dv (г/)) dp (а).


В более краткой записи имеем				J dv \| / (a, y) dp.
J J / (*, у) dp dv = j dp J f (a, y) dv =
Итак, сформулируем теорему.							на
Теорема Лебега — Фубини.		Пусть f — числовая функция
А X В,	интегрируемая относительно		меры со =		ц X ѵ-	Тогда
функция	x- *fix,y) р-интегрируема		для	почти	всех	х	(по
мере ѵ),	функция г/—* /(а, г/)	ѵ-интегрируема для			почти всех у

(по мере ц), и

J J f ix, y ) d p d v = j dp j f (a, y ) d v = j dv j f (a, y) dp.

Приведем следствие из этой важной теоремы.
Пусть	— множество со-нулевой меры; обозначим через ср
его характеристическую функцию; для любого		у функция х — >
- > ф ( А , у)	будет характеристической функцией	того, что назы