Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 176
Скачиваний: 0
с увеличением п и при р ф 0,5, причем достигает этого предела тем быстрее, чем ближе р к значению 0,5. При р <0,5 биномиальное
распределение приобретает левостороннюю (положительную) асим метрию (скошенность), при р >0,5 — правостороннюю (отрицатель
ную) .
Математическое ожидание [Е (т)\ дискретной случайной вели чины т, распределенной по биномиальному закону, равно
т = Е(т) = пр. |
(2 .4) |
Рис. 2.1. Дискретные биномиальные распределения при различных пара |
|
метрах п и р . |
|
а — п — 10, р — 0,8; б — п = 10, р = 0,5; в п ~ 10, |
р — 0,2; г — п — 5, р = 0,2; д — я =20, р = 0,2; |
е — п = 15, |
р —0,2. |
Равенство |
(2.4) |
получается следующим образом. Используя |
||
формулу (2.2), а также выражение (1.3) |
и q = 1 — р, получаем |
|||
тп |
-Е (т) — ^ |
тРп( т ) = 2 |
тС™рт(1—/?)" |
|
|
|
т = 0 |
т = О |
|
|
= |
|
п ! |
|
|
т ! (п — т) ! ■рт(1 - р Т |
|||
При т —0 |
т = 0 |
|
|
|
первое слагаемое равно нулю. Поэтому суммирова |
||||
ние начнем с и = 1. |
Вынося пр за знак суммы, имеем |
|||
|
|
1—1 |
|
|
т = Е ( т ) = п р "V
т=
------ — ^ !------
1
(т — (п — т) Г
1)' ! v ' !
пт-1,
Р т ~ 1( \ - р у -
В последнем равенстве |
произведем замену: ■у = т — 1 и 2 = |
|
= п — 1 ; в результате получаем |
|
|
т — Е ( т )~ пр |
^ |
z ! |
у ! (2 - у ) ! ■р Ч* —р )Z - у |
||
|
у = 0 |
|
64
так как п-— m = z + 1 — (г/+ 1 ) = 2 — у. Вследствие |
того |
что сумма |
в полученном равенстве по соотношению (2 .1 ) |
равна |
единице, |
имеем т = пр.
Выведем формулу для дисперсии случайной дискретной вели чины, распределенной по биномиальному закону
^2 (*у%\ |
S {т — т)2 |
2 т2 + 2 гп2 — 2 2 тт |
__ |
т = °________ __ |
т = 0_____т —0_______ т = 0 |
||
^ ' |
п |
п |
|
п |
2 1П |
1 |
- - 2 |
т2-\-т2 —2т "г=)°— = |
2 пь2 — т2. |
т — 0 |
|
т = 0 |
Математическое ожидание т2равно
п |
п |
п |
Е(т2) = ^ т 2 = 2 |
|
т2Р(т)— 2 т (т — 1 )Я(/и)-{- |
п
2 тР(т),
т — 0 т = 0 m = 0 т = 0
где Р (т) — дискретное биномиальное распределение случайной ве личины т. Вторая сумма в полученном выражении равна матема
тическому ожиданию |
(1.3). |
Первое |
слагаемое можно представить |
|||||
в виде |
|
|
. П |
|
|
|
||
|
П |
|
|
|
|
|
||
|
2 т(т — \)Р{т) = ^ tn (т — 1) С™рт(1 — р)п~ т= |
|||||||
|
т — 0 |
|
|
т — 0 |
|
|
||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
т(т — 1 ) — |
— r r P mi} —p f ~ m. |
||||
|
|
|
4 |
' |
т \ (п — т) { |
^ ' |
||
|
|
т = 0 |
|
|
|
|
|
|
Вынесем за знак суммы п |
(п — 1)р2 и изменим пределы сумми |
|||||||
рования |
|
|
|
|
П |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ т { т - \ ) Р { т ) = п { п ~ \ ) р 2 2 |
|
р т - щ - р у - т ш |
||||||
т = 0 |
|
|
|
|
|
т — 2 v |
’ ' ' |
' ' |
Введем новые обозначения: у = т — 2 и z = n — 2, тогда |
||||||||
Л |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
2 |
т (т ~ 1 )^ (т )= п(п — \)р 2 ^ |
Су/?У(1 —Р)*~У= п (« — 1 )р 2. |
||||||
m = 0 |
|
|
|
|
|
у = 0 |
|
|
В исходное выражение для дисперсии подставляем полученные |
||||||||
слагаемые |
|
|
|
|
|
|
|
|
а2( т ) = 2 |
т2 —т2=-- 2 |
m (/д — 1)Р(т) + |
^ тР(т) — т2== |
|||||
|
т —0 |
|
|
m =0 |
|
|
|
т =0 |
|
= д (д — 1)р2+ д р —д2р2= д р [р(д —1)+1 — др] = |
|||||||
|
|
= |
я/> (лр —p - f 1 — пр)=пр (1 —P)— npq, |
|||||
5 |
З ак . № 88 |
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как
п
^тР(т) = т = пр,
т= О
/га2= л2/»2.
Таким образом, дисперсия случайной величины т, распределен
ной по биномиальному закону, равна
о2( т )= п р (\ —p)=npq. |
(2 .5 ) |
Третий центральный момент для дискретного биномиального распределения приведем без вывода, который можно найти, напри мер, в книге Митропольского [89],
ix3= n p q ( q - p ) . |
(2 .6 ) |
Выразим параметры рассматриваемого распределения через обычно применяемые в гидрологии величины — коэффициенты ва риации и асимметрии. Учитывая выражения (1.22), (1.27), (2.4) — (2 .6 ), получаем:
|
|
СV |
Ьп |
V прч |
|
r__ i / я |
|
(2.7) |
|
|
|
т |
пр |
|
V |
пр |
’ |
||
|
|
|
|
|
|||||
а |
пз |
npq (д — р) |
прд V ( пр)з |
прдп1*р12 |
|||||
|
|
Я |
|
V я3 |
|
|
Я>'< |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=jL$r-=V- |
(пр) 5 |
|
(2.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Биномиальная схема для дискретного |
распределения величин |
||||||||
может найти применение при решении некоторых |
гидрологических |
||||||||
задач. |
|
|
|
|
В результате наблюдений на |
||||
Рассмотрим следующий пример. |
|||||||||
некоторой |
реке установлено, |
что в течение |
20 |
лет наблюдалось |
|||||
4 случая |
пересыхания реки. |
Требуется |
определить вероятность |
||||||
того, что за 20 -летний период будет наблюдаться от 2 до 10 слу
чаев пересыхания.
Для применения биномиального закона в форме (2.2) необхо димо знать величину параметра Р, который в большинстве случнев
гидрологических приложений заранее не известен. Поэтому его определение осуществляется приближенно на основании экспери ментальных данных.
При решении подобных задач в качестве оценки Р используется
отношение
где т — число успешных исходов; п — число всех испытаний.
66
Используя формулу (2.9), имеем
Ошибка в определении Р, рассчитанной по формуле (2.9), тем
больше, чем меньше число испытаний. Пределы возможных коле баний случайной величины (например Р, определенной по случай
ной выборке) оцениваются в статистике с использованием понятия доверительных интервалов, показывающих те пределы, в рамках
которых может изменяться рассматриваемая величина с различной степенью вероятности. Доверительные пределы, обеспеченные на 95 и 99%, для величины Р в случае дискретного биномиального
распределения можно получить, используя зависимости, представ ленные на рис. 2.2 и 2.3. На этих рисунках видно, что для получен ного значения Р = 0,2 при п = 20 доверительные 99%-ные пределы Р
равны 0,02 и 0,39. Очевидно, что при возрастании периода наблю дений (п) доверительные пределы будут сближаться.
По выражению (2.2) рассчитаем вероятности того, что за 20-лет ний период будет последовательно 1 , 2 , ..., 10 случаев с пересыха
нием реки в летний период:
Р20(0)= С и • 0 ,2 ° • 0,82Э= 0 ,0 1 15,
Я20(1)= С ^0 • 0,2' • 0,819=0,0576,
Я20(2)= С 20 • 0 ,22 • 0,818=0,137,
Я20(3)=(^о • 0 ,23 • 0,817=0,2050
Я20(4)=Сго • 0,24 • 0,816=0,2180
Я20(5)= С з0 • 0 ,25 • 0,81S=0,1746
Я20(6 )= С !о • 0 ,26 • 0,814=0,1090,
Я20(7)=С1о • 0,27 • 0,813=0,0540
Я 20( 8 ) = С . 2 о • 0 ,2 8 • 0 ,8 12= 0 , 0 2 2 1
Я20(9)= С |) • 0,29 • 0,8" = 0.0074
Я20(10)=Си ■0,210 • 0,8 10=0,002
Я20(11)=См ■0,2й • 0,89=0,0005
Р20(12 )= С 22 • 0 ,2 12 • 0,88=0,000086.
Биномиальные коэффициенты С™ при малых п могут быть опре
делены достаточно просто из так называемого треугольника Пас каля.
5 * |
6 7 |
п |
|
|
|
Коэффициент С ™ |
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
1 |
3 |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
6 |
4 |
1 |
1 |
|
|
5 |
|
1 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
|
|
6 |
|
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
7 |
|
|
7 |
1 |
1 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
1 |
|
8 |
8 |
28 |
56 |
70 |
56 |
28 |
|
1 |
|
Рис. 2.2. Доверительные 95%-ные пределы для эмпирической вероятности при биномиальном распределении (по данным, работы [140]).
68