Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Численные значения коэффициентов каждой последующей гори­ зонтальной строки в пределах треугольника Паскаля получаются

рис. 2.1 д: среднее значение случайной величины т в соответствии с формулой (2.4) в рассматриваемом случае равно т = 20-0,2 = 4.

Действительно, при т —4 наблюдается наибольшая вероятность

того, что в 4 случаях из 20 лет будет отмечаться пересыхание реки

Рис. 2.3. Доверительные 99%-ные пределы для эмпирической вероятно- ■сти при биномиальном распределении (по данным работы [140]).

в летний период. Очевидно, что при значениях т меньше и больше

четырех эта вероятность должна быть меньше, что и подтвержда­ ется результатами расчета.

Рассчитаем параметры данного эмпирического распределения по формулам (2.5) — (2.8): о2= npq = 20 • 0,2 (1 — 0,2) = 3,2,

69

а =]/"3,2 =1,789,

1,789

СVm. 4 =0,447,

\i.z= npq (q —/?)=20 • 0,2 • 0,8 (0,8 — 0,2)= 1,92,

В гидрологических расчетах часто требуется определять вероят­ ность появления не более г успешных исходов в п независимых

т

Рис. 2.4. Биномиальная кривая обеспеченности распреде­ ления числа случаев пересыхания реки. п = 20, р = 0,2.

/ —биномиальная непрерывная кривая обеспеченности, 2—диск­

ретное биномиальное распределение (точки отнесены к середине интервала).

испытаниях. Эта вероятность определяется по интегральной функ­ ции биномиального дискретного распределения

Г

Допустим, что необходимо определить вероятности того, что за 20 лет наблюдений за речным стоком произойдет не более 5 случаев пересыхания реки. Имеем: п = 20; р = 0,2; г = Ъ. Используя выраже­ ние (2 .10 ) и очевидное равенство р —1 — q, получаем

5

Р ( т < 5 ) = 2 См0,2т (1 - 0 , 2)20_ т = 0 ,012 + 0,058+0,140+

т =0

+0,205+0,218+0,175=0,808.

70

Обычно в гидрологических расчетах используется вероятность превышения заданного числа г. В этом случае имеем

Р ( ю > 6)= 1 -0,808= 0,192 .

Интегральная функция распределения числа случаев превыше­ ния пересыхания реки при п = 20, р = 0,2 и г = 1 -М 0 изображена на

рис. 2.4.

Дискретное биномиальное распределение может найти примене­ ние в гидрологических расчетах и при решении других аналогичных задач. Наибольшее же применение в гидрологических расчетах по­ лучило биномиальное распределение непрерывных случайных вели­ чин, рассматриваемое в § 4 настоящей главы. При решении неко­ торых задач гидрологических расчетов используется закон распре­ деления Пуассона, описывающий также распределение дискретных случайных величин.

§ 3

закон распределения Пуассона

Распределение Пуассона вытекает из дискретного биномиаль­ ного распределения при п-*-оо и когда пр = К сохраняет постоян­

ное конечное значение.

Можно отметить, что если в биномиальном дискретном распре­ делении вероятность Рт, определяемая по выражению (2.2), не

имеет значений, близких к 0 и 1, то в распределении Пуассона ве­ роятность Я-к 0.

Распределение Пуассона имеет вид

метр л, определяемый по экспериментальным данным.

Вывод закона распределения Пуассона осуществим, опираясь на биномиальное дискретное распределение.

В соответствии с выражением (2.3) биномиальное дискретное распределение имеет вид

/( т , п, р )= С тпр т( \ - р ) п- т =

п ( п - \ ) ( п - 2 ) . . ( п ~ т \ 1)

71

Умножим числитель и знаменатель на пт и произведем замену переменных по равенству пр = Х

(2.13)

Рассмотрим по частям предельные выражения полученного ра­ венства. Произведем преобразование

1■-пр 1'

р -*■ О

Наконец, рассмотрим предел выражения при п->оо и р-*-0 /л — 1

Р - * о

Подставляя предельные значения в формулу (2.13), оконча­ тельно получим распределение Пуассона (2.12), представляющее собой предельную форму биномиального дискретного распределе­ ния с параметром К = пр при р ->-0 и м->- оо.

Выведем выражения для математического ожидания, диспер­ сии и третьего центрального момента случайной величины, рас­ пределенной по закону Пуассона. При этом используем фактори­ альные моменты. Факториальный момент г порядка случайной ве­ личины т от т = 1 до т = п представляет собой выражение

П

2т ( т — 1) . . . (tn — r - f-1).

т=1

Найдем факториальные моменты для закона распределения Пуассона

оо

Л = 2 4 т е~}' т ( т — \ ) ( т — 2) . . . ( т — r + 1).

т= 1

Представляя Хт — Хт~гХг и вынося за знак суммирования постоян­ ную ХТ, раскрывая факториал ml и произведя при этом необходи­

мые сокращения, а также изменяя пределы суммирования, полу­ чаем

7 2

Учтем, что целая положительная степень любого числа может быть представлена в виде

Г

/=1

при г —2

г=2

/2= Л 2гАг=А -|-^I2,

/=1

при г= 3

г = 3

/ з = 2 Л згА '= А + З А 2+ А 3.

I =1

Численные значения коэффициентов Ан взяты из табл. 2 .1 .

Моменты выше третьего порядка в гидрологических расчетах не используются и поэтому здесь не рассматриваются.

По формулам (1.38), выражающим центральные моменты р через начальные (fr), получим:

14=0,

р.2= А + ) 2 — А2= А ,

р3==А+ЗА2+А 3-3(А + А 2)А+2(А)3=А+ЗА 2+А 3-ЗА 2-ЗА 3-}-2А3=А.

Приведенный анализ показывает, что первый начальный момент,

или среднее арифметическое значение (т), второй центральный

73

момент, или дисперсия о2 , и третий центральный момент (рз)

в распределении Пуассона равны

m=Om=|x3=A. (2.18)

Переходя к обычным для гидрологов параметрам, получаем:

т

или

Cs= C v= l 2 и т=1.

Следовательно, если ряд дискретной случайной величины т ха­

рактеризуется равенством т ~ а 2 ~рз~Я , то это дает основание по­

лагать, что случайная величина т распределена по закону Пуас­

сона.

Полезно заметить, что приближенность равенства среднего арифметического (т), дисперсии (сг2т) и третьего центрального мо­

мента (цз) указывает на возможность случайных колебаний выбо­ рочных значений этих параметров по отношению к величинам, свойственным генеральной совокупности.

Приведенное соотношение между указанными параметрами применительно к статистическим совокупностям гидрологических величин наблюдается сравнительно редко и поэтому рассматривае­ мое распределение не получило в гидрологии широкого примене­ ния. Тем не менее в некоторых, как, например, в приведенных ниже случаях использование его может оказаться целесообразным.

Предварительно рассмотрим в порядке сопоставления дискрет­ ное биномиальное распределение и распределение Пуассона.

Указанное сопоставление произведем при следующих значениях

рис. 2.5, показывают, что с увеличением л и уменьшением р рас­

пределение Пуассона приближается к биномиальному. Этот вы­ вод не является неожиданным, поскольку из общего анализа

74