Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

распределения Пуассона следует, что оно представляет собой пре­ дельную форму биномиального закона при п —>- оо и р->- 0.

Выводы, полученные по данным табл. 2.2, более важны в том отношении, что они позволяют оценить объемы выборок, при кото­ рых различия в рассматриваемых схемах распределения случайных величин практически можно считать несущественными. Расчеты по­ казывают, что распределение Пуассона дает хорошее приближение к биномиальному даже при сравнительно малых объемах выборки ( п > 10 ), особенно с уменьшением параметра К.

т

Рис. 2.5. Сравнение биномиального интегрального закона распределения с законом Пуассона.

/ —биномиальное распределение р=0,2, п=25; 2—биномиальное распределение р—0,1, /2=50; 3—распределение Пуассона Л=5.

Указанный вывод важен с точки зрения возможности примене­ ния рассматриваемого закона распределения при решении гидроло­ гических задач, поскольку используемые в этом случае объемы со­ вокупностей обычно ограничены несколькими десятками членов.

Практический смысл использования закона Пуассона заключа­ ется в существенном упрощении расчетов по сравнению с дискрет­ ным биномиальным распределением. Кроме того, при некоторых значениях параметров п и р расчеты по биномиальному распреде­ лению оказываются затруднительными ввиду недостаточной точ­ ности пятизначных таблиц логарифмов. Из того условия, что закон Пуассона возникает при р-*~ 0, следует, что он применим для вы­

равнивания наблюденных распределений, редких событий, напри­ мер, маловодных или многоводных периодов значительной продол­ жительности, гроз в зимний сезон и т. д. В силу указанного свой­ ства распределение Пуассона часто называют законом редких явлений.

76

Применение закона Пуассона рассмотрим на примере оценки повторяемости группировок маловодных и многоводных периодов некоторых рек СССР. Основные исходные данные приведены в табл. 2.3.

Т а б л и ц а 2.3

Сведения о наибольшей продолжительности маловодного периода и числе лет наблюдений на некоторых реках СССР

Учитывая, что продолжительные периоды пониженной или по­ вышенной водности рек — явление очень редкое, и предполагая, что стохастической связи между величинами годового стока нет, можно воспользоваться законом распределения Пуассона в виде

для выяснения вероятности P(R = v) встретить число группиро­

вок (v) пониженной или повышенной водности продолжитель­ ностью не менее k лет.

ния за п лет.

Применительно к рассматриваемой задаче параметр распреде­ ления Пуассона может быть рассчитан по приближенной формуле

вывод которой основан на теории комбинаторики. Несколько по­ дробнее вопрос о группировках маловодных и многоводных лет рассмотрен в главе IV. Здесь же лишь отметим, что эта зависи­ мость с точностью, достаточной для решения практических задач, определяет среднее число группировок продолжительностью не ме­ нее k лет в выборках случайных независимых величин.

Используя выражения (2.19) и (2.20), легко можно подсчитать вероятность встретить в п наблюдениях число группировок (v) продолжительностью k лет и более. При этом имеется в виду, что k достаточно велико и, следовательно, наблюденная группировка,

допустим, маловодных лет — явление достаточно редкое, а соот­ ветственно вероятность появления такой группировки мала. Здесь, как и ранее, предполагается отсутствие связи в последовательности годовых объемов речного стока.

7 7

Определим, с какой вероятностью можно ожидать появление двух группировок маловодных периодов продолжительностью каж­ дого не менее 7 лет в выборке, включающей 85 лет наблюдений

Фактически по данным наблюдений за годовым стоком р. Белой у г. Уфы наблюдалась лишь одна группировка маловодных лет про­ должительностью 7 лет.

Подсчитаем, какова вероятность появления одной группировки маловодных периодов длительностью 7 лет и более в выборке объ­ ема 85 лет. По формуле (2.19) получаем

Д(Я7==1 ) = - ° ^ - <Г0-332 » 0,24 « 24°/0.

Как видим, вероятность этого события уже достаточно велика. Фактически за 85 лет наблюдалось две группировки маловодных лет продолжительностью 7 лет и более.

Техника вычислений значительно упростится, если использовать таблицы распределения Пуассона для X от 0,1 до 5,0 с интервалом 0,1, для X от 6 до 15 с интервалом 1,0 и, наконец, для X от 20 до 100

Используя зависимость (2.21), рассчитаем теоретическую веро­ ятность появления указанных в табл. 2.3 группировок маловод­ ных лет.

Для маловодной группировки длительностью И лет для р. Волги у г. Ярославля имеем

Я (Р ,5> 1 ) = 1 - е 213+1 ~0,012«1,2'7 о

78

и, наконец, для группировки стока маловодных лет для р. Белой у г. Уфы

_ 85

P ( R u > 1 )= 1 - < Г 211 + 1 я» 0,018 « 2 , 0°/о*

Заметим, что для решения рассматриваемой задачи можно при­ менить и формулы (2.19) и (2.20). Действительно, например, для р. Белой имеем я = 85, &= 11 и, следовательно,

Большой научный и практический интерес представляет опреде­ ление наибольшей продолжительности группировки маловодных или многоводных лет при заданном значении вероятности в вы­ борке объемом п лет. Эта задача может быть приближенно решена

также на основании закона Пуассона, если выражение (2.19) пред­ ставить в виде

Здесь К — наибольшая длительность группировки маловодных или многоводных лет при вероятности ее наступления р в выборке объемом п лет.

Применительно к исходным данным, приведенным в табл. 2.3, рассчитаем наибольшую возможную продолжительность группи­ ровки с вероятностью повторения, равной 0,05, т. е. 5%.

Для р. Волги у г. Ярославля имеем

Сопоставление рассчитанных наибольших значений продолжи­ тельности маловодных периодов (2 .2 2 ) с наблюденными данными

(табл. 2.3) показывает, что осуществившиеся периоды низкой вод­ ности были большей длительности, чем расчетные. Из этого сле­ дует, что им свойственна меньшая вероятность повторения, чем это принято в расчете (5%).

79