Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 181

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Приведенный вывод справедлив, конечно, в-той мере, в какой использованная для расчета схема распределения Пуассона соот­ ветствует рассматриваемому явлению.

В частности, весьма важным условием применимости закона Пуассона является требование статистической независимости вели­ чин, образующих рассматриваемую совокупность. Вместе с тем известно, что многие редкие гидрологические явления могут следо­ вать одно за другим вследствие того, что вызывающие их условия сохраняются длительное время. Это, строго говоря, нарушает усло­ вия применимости распределения Пуассона. Поэтому впредь до выполнения оценок того, насколько явление внутрирядной связан­ ности может оказаться существенным, приведенные расчеты с ис­ пользованием пуассоновского распределения следует рассматри­ вать как имеющие иллюстративное значение.

Более полное освещение вопроса о циклических колебаниях стока дано в главе VII. Применение распределения Пуассона в гид­ рологии, конечно, не ограничивается приведенными примерами. Так, Г. А. Алексеев [4] использовал этот закон при выводе формул для определения повторяемости дождей по их обеспеченности среди совокупности всех дождей. Попутно заметим, что в этой же работе используется биномиальный закон распределения в дискретном ва­ рианте. Ю. Б. Виноградов [36] применил пуассоновское распреде­ ление при оценке распределения длительности бездождных перио­ дов. Описание группировок распределения маловодных и многовод­ ных лет с помощью закона Пуассона выполнил Г. А. Гриневич и другие [44].

§ 4

обобщение биномиального распределения применительно к совокупностям непрерывных случайных величин

Большинство гидрологических величин в соответствии с особен­ ностями их формирования должны рассматриваться как образую­ щие непрерывные статистические коллективы. Непрерывность рас­ пределения случайных рядов, как указывалось выше, заключается в том, что значение варьирующего признака может быть каким угодно (с учетом точности его определения) и, следовательно, Два смежных значения ряда могут отличаться на весьма малую вели­ чину (конечно, в пределах достигаемой точности измерения или расчета). Поэтому при неограниченном увеличении числа членов ряда можно ожидать, что формирующие статистическую совокуп­ ность величины заполнят любой заданный интервал и образуют не­ прерывную последовательность чисел.

В связи с указанным возникает необходимость обобщения ранее полученного закона распределения совокупностей дискретных слу­ чайных величин для распределения непрерывных величин.

80

Решение этой задачи выполнимо при дискретном варианте биномиального распределения. В таком случае необходимо осущест­ вить переход от соотношения (2 .2 ) для дискретной случайной вели­ чины т к соотношению, дающему оценку вероятностей при непре­

рывном изменении аргумента (х), т. е. получить закон непрерыв­ ного изменения вероятностей Р (х ). Задача, по существу, сводится

к интерполяции дискретного биномиального распределения. На рис. 2.6 столбика­

ми изображено дискрет­ ное биномиальное рас­ пределение при различ­ ном т и р . Высота орди­ нат на рис. 2.6 определя­ ется уравнением (2 .2 ).

Размер интервала диск­ ретного распределения может быть каким угодно. Важно лишь, чтобы этот интервал был постоянным. Тогда при увеличении

числа наблюдений п и Рис. 2.6. Схема перехода от дискретного бино­ миального распределения к непрерывному.

при одновременном умень­ шении длины дискрет­

ного интервала, обозначаемого через е, в пределе при п-> оо и е -»-0 получим непрерывную кривую распределения, проходящую

по верхним значениям столбиков (рис. 2 .6 ).

через

Обозначим в общем виде абсциссы распределения р (х )

т — 1, т и т + \, а ординаты этих абсцисс соответственно

через

Р (т — 1), р (т) и р (т+1).

 

Значения абсцисс в точках касания кривой линии с отрезками прямых ABCDE (рис. 2.6) будут равны

1, 1

х— т —-„- или х = т - \ — ,

азначения ординат соответственно равны:

Р\ = \ \р { т )-\-р (т -\)\,

/>2= 4 ” \р(пг-\-\)-]-р(т)\ и т. д.

В таком случае

b p i = p ( m ) - p { m —1),

АЛ = Р (/я + 1 ) —р(т) и т. д.

При «->- оо и е -*-0

Ар

dp

Дх

dx '

б З ак . № 88

81

Задаваясь е =ДХ =1, получаем

1 . dp _

р (т) — р (т — 1) __

р (т) — р (т — 1 )

Р

dx

1

г / ч ,

/

1 м

Р (т) + р (т — 1) '

 

 

 

[Р(т) +

Р ( т ~

1)J

>

Подставив

в полученное

уравнение

выражения для р (т) и

р (т — 1),

согласно

равенству (2.3), будем иметь

 

 

— . dp ^_2 ^

~~ Р(х ~ О _

 

 

р

dx

р (х) + р {х — 1 )

X I.(п — х) I р х (1 - р у - х -

п !

= 2

(х — 1) ! (п — х + 1) ! p * - i (1 - р)п~х +1

п !

рх (1 — р ) п~х +

 

 

х \ { п — х){

 

+ •

 

п !

 

 

р х~1(1 - р )п~х +1

 

{ х — 1) ! (п — х +

1) !

 

 

1

 

 

 

 

= 2

п — X + 1 ^

р ^

„ /7 {п — * + 1) — X (1 — р)

 

 

 

 

 

Р (п — х + 1) + х (1 — р)

— 4-

1

У - Р )

 

х р + п — х 4-1

 

 

2

рп — рх + Р — х 4- рх __2

рп — р — х

 

рп — р х + р + х — рх

 

рп р + х — 2р х

 

 

 

 

рп + р — X

 

 

= 2- рп + х (1 — 2р) + р •

Произведем

замену переменной

по соотношению х = х '-\—

что соответствует смещению

расстояний по шкале абсцисс на по­

ловину интервала дискретности

 

 

]_

dp

 

 

рп + р — х ’ -----

= 2

 

 

 

 

Р

d x 1

 

 

 

- 2р |лг' +

 

 

рп + р 4- X’ +

 

 

рп + р — х ‘ — • 1

 

 

рп

,

х'

, 1

,

 

 

^ г

+ - г

+ ^

- рх'

Изменим в числителе и знаменателе знаки на противоположные

 

dp

 

Р

dx'

х’

 

8 2

Произведя замену переменных в последнем равенстве

4 — п р - р = г,

пр

 

Р ----<Г = Ь1

 

и выражая р через у и х

через х, получаем

 

1

dy __

г + х

(2.23)

у

dx

bQ-|- b\X

 

Уравнение (2.23) представляет собой дифференциальное урав­

нение биномиальной кривой распределения,

вытекающее из рас­

смотренной вероятностной схемы Бернулли.

 

dy

 

Из уравнения (2.23)

следует, что при х = — г

т- е- в этои

~ ^ = 0 ,

точке кривая имеет

максимум,

а начало

координат

помещено

в центр распределения. При у = 0

dy

т- е-

в начале и конце

-^ - = 0,

кривая имеет ординату, равную нулю.

Разделяя переменные в уравнении (2.23) и произведя интегри­ рование, получаем

Г

аУ

Г

Г+ X

 

 

г

dx.

(2.24)

J

У

J

6о + ЪIX

Преобразуем подынтегральную функцию в правой части, умно­ жив числитель и знаменатель на bх и прибавляя и отнимая в числи­ теле Ьо,

J - ^ = lny=J rbx+ xb\

(Ь0 +

| Г

r b \ — VQ

,

J

bx (b0 + bxx)

ил

+ Ь0 -

dx=

Г_*о + bxx

■dx-\-

Ьхх) Ьх

"J

b\

t

_ ^

rb\

 

 

(*о + ^1-*)

 

 

JI

dx

 

i| 1

bx

b0 + bxx

■

После замены переменной bo+ bxx = t будем иметь

5 b0+Xbxx z=- k i ^ r =

- k lnt==J T ln(b°+ bXx)>

так как bx dx = dt и dx--

1

dt.

 

Возвращаясь к исходному выражению, получаем

1п у = -^ - +

гЬ\ х Ь°

• ± Щ ЬоЛ -Ьхх)-\-Хпс--

 

 

_*о

 

 

 

bi

In (бо-1—^i-^)—]—In с.

6*

83

Потенцируем последнее выражение

г-Ь-

 

___bj_ £_

 

у =с(Ьа-\-Ьхх) ь' е Ь'.

(2.25)

Выразим параметры уравнения (2.25) через моменты, для чего уравнение (2.23) представим в виде

bQdy-\-bxx d y = гу dx -\-yxdx.

Умножаем обе части последнего равенства на хп (п — целое по­

ложительное число) и интегрируем

b0J х п dy —j—b\ j x n+ld y = r j yxndx-\-\j yxn+1 dx.

(2.26)

Произведем интегрирование по частям:

 

b0j x n d y = b Qyxn — b0n j yxn~' dx,

(2.27)

bi j x n+1 d y = b iyxn+1— bi (tt+ 1 ) j yxndx,

(2.28)

b0yxn=0,

 

blyxn+1= 0 ,

 

так как ординаты у на концах кривой распределения равны нулю.

Подставляя (2.27) и (2.28) в (2.26) и выражая интегралы через моменты, получаем рекуррентное соотношение для моментов бино­ миальной кривой распределения

 

— Ь0пт„_, — Ьх (п- f 1) тп= т п + 1+ г т п,

(2.29)

так как по определению моментов кривой распределения

 

| уx n~l d x = m n_ u

 

 

 

j* ухп d x = m n,

 

 

 

 

j yxn+1 d x = m n+-i.

 

 

Соотношение (2.29) связывает параметры г,

Ь0 и Ь\ с моментами

любого порядка. Нас интересуют

зависимости этих параметров

от первого, второго и третьего моментов,

так

как моменты более

высокого порядка не используются

при

описании

биномиальной

кривой распределения и вообще в гидрологических

расчетах. На­

помним, что то—1 , a mi = 0 .

 

получим:

 

По рекуррентному соотношению (2.29)

 

при п = 0

—bi = r;

 

 

 

 

при я = 1

— Ьо = т2 ,

 

 

 

 

при п = 2

2>Ь1 т2 = тз+гт2.

 

 

 

 

84

Смотрите также файлы