Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 184

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Откуда

—3bim2= m 3-\-(—bi) т2,

— bх(3т2 — т2)= т3,

т3

Ьх = — 2т2 ’

Ьй= — т2,

(2.30)

т3

2т2

Выразим уравнение (2.25) через моменты кривой распределе­ ния, используя при этом соотношения (2.30),

 

 

 

т% 2тХ

•2т-2

 

 

 

 

2т 2

 

 

 

 

2 т 2

 

 

 

 

 

 

У = с (-

-т9

т3

 

Шг

(2.31)

2т2

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуя показатель степени в (2.31)

 

 

т3

2т~,

2т2

 

4m'i 4т%

 

2т2

т3

2т2т3

 

 

1

—т3

 

2т2т3

 

 

 

 

и подставляя его значение в (2.31), вынося при этом за скобки вы­ ражение

4/п0

 

2nd

 

 

т3

 

и, наконец, произведя замену

4тХ

 

 

■мм

■—1

0 =

 

\ 2т2 )

 

 

 

окончательно получаем уравнение биномиальной непрерывной кри­ вой, отнесенное к центру распределения,

4/По

• — 1

2mi

У = Схв т3 X- 2nd (2.32)

т3

Отнесем это уравнение к началу кривой. В начале кривой у = 0

при х- 2ml= 0. Заменяя переменную в уравнении (2.32)

т г

 

 

х - = х -

2т‘

(2.33)

т3

 

 

8 5

получаем биномиальную непрерывную кривую распределения, от­ несенную к началу распределения,

2ms

4mS

У = с хе

х , mg

Введя обозначения

 

 

4m i

4/По

а=^1Г> P = -тгS r .

иобозначая абсциссу в новой системе координат через х, получаем

у = В х а~'е~?х.

(2.34)

Определим параметр В, для этого произведем интегрирование

уравнения (2.34)

В j V ~ V 3* d x = \ .

Заменим переменные |3*= z, получим

г

1 - Z dz_

 

В 1(f)

3

— В — \ z * ~ xe ~sdz — 1 .

Интеграл в последнем равенстве представляет собой гаммафункцию, или интеграл Эйлера 2-го рода, значения которых можно найти в специальных таблицах, например в работе [89]

Г (а )= 1

z %~ xe Zdz,

о

 

 

тогда

 

 

в г ( а )

Л,

 

 

И Л И

 

 

В--

 

г

Н е ­

окончательно уравнение биномиальной кривой распределения непрерывных случайных величин, отнесенное к началу кривой, имеет вид

ЛI

^ V-Я lz?

(2.35)

у — Г(1) * е ■

Если начало отсчета отнести к моде, то уравнение (2.32) может быть представлено в виде

У— УФ ■‘?Х

(2.36)

0

+ - 5 - Г -

86

2 ГП2

 

т2

2 т2

т3_

где р =• т3

уо— модальная ордината;

а=-

г=- т3

2 тг'

Р а = 4msз

1 .

 

 

 

mt

 

 

 

 

Для того чтобы из уравнения (2.32)

получить уравнение

(2.36),

следует учесть, что при переносе начала отсчета из центра распре­

деления в моду абсцисса х'

в новой системе координат будет свя-

зана со старой соотношением х . =х + - т3

так как мы начало от­

 

 

 

 

 

 

 

2т2

 

 

 

 

счета переместили влево на величину г = т3

 

 

 

 

Рассмотрим основные

у

2т3

 

 

 

 

 

 

 

 

соотношения

между

па­

 

 

 

 

 

 

раметрами

 

полученной

 

 

 

 

 

 

биномиальной

 

кривой.

 

 

 

 

 

 

Расстояние

от

начала

до

 

 

 

 

 

 

центра

распределения

 

 

 

 

 

 

есть

сумма

следующих

 

 

 

 

 

 

трех

величин

(рис. 2.7):

 

 

 

 

 

 

х0— абсолютного

ми­

 

 

 

 

 

 

нимума рассматриваемой

 

 

 

 

 

 

переменной

величины.

на­

Рис. 2.7. Асимметричная кривая распределе­

а — расстояния

от

чала

до моды;

 

 

 

 

ния вероятностей.

 

 

 

 

/ — ц ен тр

р а с п р е д е л е н и я

( с р е д н я я а р и ф м е т и ч е ­

г — расстояния

от

мо­

с к а я ), 2 — м е д и а н а ,

3 — м о д а ,

4 — х 0 — н а ч а л ь н о е

ды

до центра

распреде­

 

зн а ч е н и е

п р и з н а к а .

 

ления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(сред­

Сумма этих величин равна первому начальному моменту

нее значение признака)

х 0-\-а-\-г=тх = \,0.

 

 

 

(2.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

Расстояние от начала кривой до центра

распределения

равно

 

 

 

 

 

 

2/Ло

 

 

 

(2.38)

 

 

 

 

 

а + г =

^ .

 

 

 

Расстояние от моды до центра

распределения

г определяется

по соотношению г —- т3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2т2

 

 

 

 

 

 

Выражая значения признака в виде модульных коэффициентов (х —1 ), получаем следующие соотношения:

Cv = V n h ,

С .= - т3 tnj2

которые совместно с (2.37) и (2.38) дают

О. Г=

 

2т\

2Cv

(2.39)

1 — JCq===-------- = =

Ся

1

и

т3

 

87

откуда

Cs

_

1

 

 

 

 

2Cv

1 — x Q

 

 

 

CS = 2CV при x0=

0,

 

 

Cs > 2CV при x 0>

0 ,

 

(2.40)

CS< 2 C V при x 0< 0 .

 

 

Таким образом, биномиальная кривая распределения при Cs=

= 2 Cv начинается с нуля (х0= 0);

при

Cs>2Cv — c некоторого по­

ложительного числа и, наконец, при CS<2CV уходит в область от­

рицательных чисел.

(2.31),

(2.32),

(2.34) — (2.36)

выра­

Уравнения (2.23), (2.25),

жают биномиальную кривую распределения

непрерывной

случай­

ной величины в дифференциальной форме. В гидрологических рас­ четах обычно применяются интегральные кривые распределения,

или, по гидрологической терминологии, кривые обеспеченности.

Кривая обеспеченности характеризует вероятность превышения данного значения рассматриваемого признака и представляет со­ бой интеграл дифференциальной кривой распределения (2.35)

со

(2.41)

в котором а и | 3 выражаются через центральные моменты, как было отмечено ранее.

Уравнение (2.41), определяемое тремя параметрами (х, mi, mз),

иногда называют трехпараметрическим гамма-распределением. Имея в виду выражение (2.41), получаем

При CS=2CV А'о = 0 и, следовательно, а=р; значит, интеграль­

ное уравнение (2.39) приводится к виду

со

(2.42)

а дифференциальное уравнение (2.35) — к виду

(2.43)

88

Биномиальную интегральную кривую распределения при Cs = = 2Cv вида (2.42), в отличие от (2.41), иногда называют двухпара­

метрическим гамма-распределением, так как в это уравнение вхо­

дит лишь два параметра (х и Cv), подлежащие определению по на­

блюденным данным.

В гидрологических расчетах в качестве параметров кривых рас­ пределения широко используются коэффициенты вариации и асим­ метрии, определяемые по экспериментальным данным по выраже­ ниям (1.22) и (1.27). Поэтому уравнения (2.41) и (2.42) целесооб­ разно выразить через эти параметры. Попутно напомним, что среднее арифметическое значение, или первый начальный момент, в данных уравнениях равно единице, так как в качестве случайной переменной рассматриваются модульные коэффициенты.

Для осуществления указанного преобразования выразим пара­

метры

 

 

а

и р

2т2

 

 

т3

через коэффициенты вариации и асимметрии. Напомним, что Cv=

----

TYlZ

 

и т° = CSC3 .

 

= i т2 и

Cs = —г- или т2 = С2

 

 

т£

v

v

 

На основании приведенных соотношений легко получаем

 

 

а = - ^ 2~

и

c,C„ •

(2‘44)

Подставляя (2.44) в (2.41)

и обозначая модульный коэффициент

через

, находим

 

 

 

В частном случае при CS=2CV (начало кривой распределения

совпадает с нулем)

(2.46)

Подставляем (2.46) в (2.42)

(2.47)

89

Смотрите также файлы