Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

В уравнениях интегральной биномиальной кривой распределе­ ния в виде (2.45) и (2.47) величина обеспеченности признака рас­

вариации и асимметрии.

Параметры более высоких моментов, чем третий, функционально связаны с коэффициентами асимметрии и вариации. Воспользу­ емся этим для определения эксцесса через величины параметров Cv и Cs, для чего в рекуррентное соотношение для моментов (2.29)

подставим (2.30)

Аналогичным образом через Cs и С„ могут быть выражены лю­ бые моменты (т 3 ).

Численное решение уравнений (2.45) и (2.47) в каждом конкрет­ ном случае, т. е. при изменении параметров эмпирического ряда, является достаточно сложной задачей. Поэтому возникла необхо­ димость составления стандартной расчетной таблицы рассматри­ ваемого семейства кривых распределения, пользуясь которой можно определить ординаты кривой обеспеченности в зависимости

от величин параметров х, Сv и Cs. Впервые такую таблицу соста­

вил А. Фостер [151]. В СССР она была уточнена С. И. Рыбкиным [117], а затем и другими авторами.

Эта таблица в современном ее виде опубликована в «Руковод­ стве по определению расчетных гидрологических характеристик». Указанная таблица1 представляет собой численное решение урав-

1 В дальнейшем при упоминании этой таблицы указание на необходимость использования Руководства не повторяется.

90

Т а б л и ц а 2.4

Порядок расчета величин годовых модулей стока различной обеспеченности (qp) р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки

О беспеченность Р %

•обеспеченность членов статистического ряда обычно определяется по формуле

где т = 1 , 2 , . . « — порядковые номера членов статистического ряда, расположенных в убывающем порядке; п — общее число чле­

нов статистической совокупности.

При сопоставлении аналитической и эмпирических кривых обес­ печенностей (рис. 2 .8 ) обнаруживается достаточно хорошая их

сходимость. Рядам годового стока и некоторым другим характери­

с целью облегчения расчетов составлена специальная таблица ор­ динат кривых обеспеченностей, выраженных в модульных коэффи­ циентах в зависимости от Cv и р \

Рассмотренная биномиальная кривая распределения представ­ ляет частный случай (III тип) обширной системы кривых К. Пир­ сона, состоящей из 13 типов распределения (включая нормальную кривую).

Совокупность кривых Пирсона получается в результате реше­ ния дифференциального уравнения вида

которое представляет собой более общий вид рассмотренного ра­ нее дифференциального уравнения биномиальной кривой распре­ деления (2.23). Уравнение (2.54) соответствует статистической1

1 См. «Руководство по определению расчетных гидрологических характери­ стик» (приложение 3, случай Cs= 2Cr ).

9 2

схеме, описываемой так называемым гипергеометрическим распре­ делением. Это распределение получается, если оценивается вероят­ ность появления белого шара т раз в S извлечениях, когда в рас­ сматриваемой совокупности объемом п имеется пр белых шаров и nq черных ( р > 0, <7 > 0, p + q=\), причем извлеченный шар снова

не возвращается в исходную совокупность (схема невозвращенного шара). В этой схеме, в отличие от схемы Бернулли, испытания становятся зависимыми и потому выводы более общие.

В геометрическом смысле уравнение (2.54), так же как и урав­ нение (2.23), отражает характерные особенности очертания кривых распределения, которые обычно начинаются от нуля (в отношении значений вероятности), достигают максимума и затем снижаются с той же или большей частью с иной интенсивностью.

Использование в уравнении (2.54) третьего параметра (62) при­

водит к необходимости в его оценке опираться на значение четвер­ того момента, который не может быть установлен с необходимой точностью вследствие ограниченности статистических совокупно­ стей гидрологических характеристик. Область простирания боль­ шинства типов кривых Пирсона выходит за пределы, характерные для гидрологических характеристик (О ^ хсоо ). Поэтому в гидро­ логии преимущественное применение получила кривая Пирсона III типа, которая здесь и рассмотрена достаточно подробно.

Сведения о всей совокупности кривых Пирсона можно получить из работ по статистике [111, 144].

Очертание биномиальной кривой обеспеченности при различ­ ных Cs и Cv показано на рис. 2.9.

§ 5

кривая распределения вероятностей С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля

Кривая распределения вероятностей Пирсона III типа, широко используемая в практике гидрологических расчетов, обладает, как было показано, одним существенным недостатком, заключающимся в том, что она при CS<2CV уходит в область отрицательных зна­

чений гидрологических характеристик, образующих статистическую совокупность. Применительно к тем достаточно многочисленным характеристикам гидрологического режима, которые по их физиче­ ской сущности не могут принимать отрицательных значений, такая схематизация оказывается принципиально противоречивой.

Лишь в одном частном случае, при CS = 2C„, кривая Пирсона III типа охватывает область изменения переменной от нуля до бес­ конечности, что не входит в логическое противоречие с представ­ лениями о законах колебания речного стока и многих других гидро­ логических величин.

94