Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Аналогичным образом, вероятность того, что конкретное значе­

Наконец, определим вероятность появления конкретного значе­ ния Xi в совокупности Pi(x) или Рг(л:); она в соответствии с теоре­

мой сложения вероятностей равна

так как любое конкретное значение лц принадлежит либо к совокуп­ ности Р1 (х), либо к совокупности Рг (х).

Обобщая приведенное доказательство на случай k неоднород­

ных совокупностей, получаем приведенное выше равенство (4.13), которое Бровковичем и Великановым [30] использовалось для оценки соответствия уравнений кривых распределения эмпириче­ ским данным речного стока.

Выражение (4.13) можно использовать для математического описания неоднородных статистических совокупностей, что проил­ люстрируем на нескольких примерах.

В § 11 главы II при изложении типовых эмпирических кривых распределения рассматривались особенности формирования стока весеннего половодья, приводящие к неоднородности рядов стока ве­ сеннего половодья в некоторых районах. Наличие такой неоднород­ ности приводило к своеобразной форме эмпирических кривых рас­ пределения. Технику построения составных аналитических кривых распределения для описания неоднородных эмпирических совокуп­ ностей рассмотрим на примерах расчета колебаний речного стока.

В предыдущем разделе в результате произведенной оценки од­ нородности ряда максимальных расходов воды р. Абава у х. Сисени было установлено, что весенние и дождевые максимумы относятся к различным статистическим совокупностям. В такой ситуации по­ строение кривой обеспеченности, отвечающей всей совокупности, может быть осуществлено с использованием рассматриваемого спо­ соба.

В рассматриваемый ряд включено 20 расходов воды, относя­ щихся к периоду весеннего половодья, и 15 расходов, сформирован­ ных дождями.

На рис. 4.2 нанесены эмпирические точки, соответствующие рас­ сматриваемым совокупностям, и аналитические кривые обеспечен­ ности. Построение кривых 3 и 4 выполнено обычными приемами,

исходя из указанных на чертеже параметров.

Рассмотрим порядок построения кривой 5. Исходя из общего объема совокупности (35 членов ряда) и однородных совокупно­ стей (20 и 15 расходов), получаем доли (веса) каждой совокуп­ ности:

А = - § - = 0 ,5 7 , ^2= 4 J -= 0 ,4 3 .

210

Используя кривые обеспеченности (3 и 4), построенные для од­

нородных совокупностей, производим расчет аналитической неод­ нородной кривой обеспеченности по схеме, приведенной в табл. 4.4.

На рис. 4.3 представлена эмпирическая кривая обеспеченности годового стока р. Сакмары у с. Сакмары (эмпирические точки всего ряда) и ее аналитическая аппроксимация в форме интегральной кривой Крицкого—Менкеля при CS = CV (кривая IV). Параметры

этой кривой получены с использованием всей выборки.

4

3

2

1

О

0,01 0,1 1 5 10 20 40 00 80 90 95 99 99,9 Р %

Рис. 4:2. Кривая обеспеченности максимальных расходов воды р. Абава у х. Сисени.

д ев ы х м ак си м у м о в (н и ж н я я к р и в а я ); 3 — а н а л и т и ч е с к а я к р и в а я К р и ц к о го —М ен к е л я ,

Отметим, что принятая аналитическая кривая обеспеченности наилучшим образом осредняет рассматриваемое эмпирическое поле точек по сравнению с другими аналитическими кривыми и различ­ ными соотношениями Cs/Cv. Больше того, интегральная кривая Крицкого—Менкеля при CS=CV испытана на большом материале

стока рек рассматриваемого района и оказалась наиболее соответ­ ствующей эмпирическим кривым обеспеченностей. Несмотря на это,

Т а б л и ц а 4.4

Схема расчета аналитической неоднородной кривой обеспеченности максимальных расходов воды р. Абавы у х. Сисени

точек, отклоняясь от них вниз при больших обеспеченностях и вверх в экстраполируемой верхней части этой кривой. Указанное несоот­ ветствие не может быть объяснено только «случайными» отклоне­ ниями эмпирических точек от аналитической кривой. Больше того, аналогичное несоответствие эмпирических данных по стоку анали­ тическим интегральным кривым распределения наблюдалось и для других рек рассматриваемой территории.

Итак, исходя из физического анализа и учитывая систематиче­ ское уклонение эмпирических точек от теоретических кривых, можно сделать предположение, что этот ряд нельзя рассматривать как вполне однородный. Видимо, он состоит из нескольких относи­ тельно однородных совокупностей.

Первые выводы можно сформулировать следующим образом:

1)данный статистический ряд в первом приближении можно разбить на две относительно однородные совокупности;

2)начиная с модулей стока приблизительно 7—8 л/с-км2 и больше действует какая-то причина, нарушающая однородность-

ряда наблюдений; 3) действие этой причины проявляется в увеличении модулей

стока многоводных лет.

Источником, нарушающим однородность среднегодовых расхо­ дов рассматриваемого ряда, как показано в главе III, являются бессточные понижения местности, увеличивающие сток многовод­ ных лет и уменьшающие сток маловодных лет. Этим и объясняется своеобразная форма эмпирической кривой обеспеченности.

Признавая неоднородность ряда годового стока р. Сакмары,. произведем разделение разнородного распределения на относи-

21S

тельно однородные совокупности с учетом физического анализа формирования стока и с учетом расположения точек на эмпириче­ ской кривой обеспеченности.

На рис. 4.3 представлены эмпирические точки и интегральные кривые распределения Крицкого и Менкеля при CS=CV относи­

тельно однородных совокупностей. В данном случае обращает вни­ мание значительно лучшая согласованность эмпирических данных с принятыми аналитическими кривыми распределения по сравне­ нию с первоначальной статистической обработкой всего стокового ряда, что дополнительно указывает на правильность произведен­ ного разделения данного статистического ряда.

Суммарную кривую обеспеченности можно получить по двум относительно однородным совокупностям, включающим соответст­ венно 68 и 12 членов. В таком случае первая совокупность будет участвовать в расчете с весом 0,85, вторая — с весом 0,15.

При выполнении расчета берем несколько произвольных точек на оси ординат, например, соответствующих следующим значениям годовых модулей стока: 12, 10, 8, 6, 4, 2 л/с • км2.

Порядок вычисления представим в виде табл. 4.5.

Т а б л и ц а 4.5

Схема расчета аналитической неоднородной кривой обеспеченности годового стока р. Сакмары у с. Сакмары

На рис. 4.3 видно, что суммарная интегральная кривая обеспе­ ченности III значительно лучше осредняет эмпирическое поле то­ чек, чем аналитическая кривая обеспеченности IV, полученная по

разнородной совокупности.

Разброс точек всего эмпирического ряда относительно суммар­ ной кривой III можно отнести к случайным отклонениям. Однако

и в этом случае в диапазоне модулей 5,0—6,5 л/с • км2 наблюдается некоторое систематическое отклонение точек от суммарной кри­ вой III. В дальнейшем, разбив эту совокупность на две относи­

тельно однородные совокупности, можно было бы исключить и это незначительное несоответствие кривой обеспеченности III наблю­

денным данным. Однако при незначительном отклонении суммар­ ной аналитической кривой от эмпирических данных не следует про­ изводить дополнительное деление ряда на многочисленные совокуп­

2 1 4

ности, добиваясь более полного соответствия расположения эмпи­ рических точек вычисленной аналитической кривой.

Рассмотрим еще один пример для р. Большой Узень у г. Ново-

узенска. Отметим, что в пределах данного водосбора бессточные депрессии более развиты, чем в условиях р. Сакмары. Кроме того, на водосборе р. Большой Узень имеется большое количество мел­ ких прудов, водохранилищ и больших плёсов, которые дополни­ тельно снижают сток маловодных лет, увеличивая их количество и сводя сток исключительно маловодных лет до нуля (1933 г.).

М л/с км 2

Рис. 4.4. Кривая обеспеченности годового стока р. Большой Узень у г. Нозоузенска.

Благодаря этому целесообразно данный стоковый ряд разбить на три относительно однородные совокупности маловодных, сред­ них по водности и многоводных лет (рис. 4.4). На рис. 4.4 видно, что, если аналитическая кривая, рассчитанная по всему ряду на­ блюдений, существенно отличается от эмпирических данных, то кривая обеспеченности, полученная как сумма взвешенных вероят­ ностей трех относительно однородных совокупностей, вполне удо­ влетворительно осреднила эмпирические точки.

Рассмотренный прием построения кривой обеспеченности неод­ нородных рядов, опираясь на однородные части всей совокупности, может найти применение, в частности, при статистической обра­ ботке таких рядов, в составе которых имеются нулевые значения признака. Такая ситуация характерна, например, для рядов мини­ мального стока. Следует при этом иметь в виду, что при выделении однородных частей совокупности к категории нулевых значений могут быть отнесены не только те элементы совокупности, которые

215